GIZEH - GEODÄTISCHE ERKENNTNISSE
Copyright © Klaus Piontzik
| Einerseits ist durch entsprechende
Papyrusfunde historisch nachgewiesen, dass auf dem Gebiet
der Algebra den Ägyptern die vier Grundrechenarten und
das Lösen von Gleichungen mit einer Unbekannten vertraut
waren. In der Geometrie kannten sie die Berechnung der Flächen von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen, sowie die Berechnung von Volumen, u.a. eines quadratischen Pyramidenstumpfes. Andererseits ist da die heute noch vorhandene Architektur, in Form der Pyramiden, Tempel und Statuen. Diese stellen ein steinernes Zeugnis der darin verwendeten Mathematik dar. |
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Die Cheops-Pyramide ist die älteste und größte der drei Pyramiden von Gizeh und wird auch als die Große Pyramide bezeichnet. Die Fertigstellung des Bauwerks wird auf 2580 v. Chr. in die Zeit des Alten Reiches datiert und dem ägyptischen Pharao Chufu zugesprochen, der weitaus bekannter unter seinem griechischen Namen Cheops geworden ist. | |
| Abbildung 7a.1 - Die Cheops-Pyramide |
| Die Pyramide besitzt eine
quadratische Basisfläche, Ihre ursprüngliche
Seitenlänge wird auf 230,33 m (ca. 440 Königsellen)
geschätzt. Die Seitenlänge heute beträgt noch ca. 225
m.Die ursprüngliche Höhe wird auf 146,59 m (ca. 280
Königsellen) geschätzt. Da sie in späterer Zeit als
Steinbruch diente, beträgt ihre Höhe heute noch 138,75
m. Das Volumen ergibt sich zu 2.583.283 m3. Die Pyramide besteht aus etwa 2,5 Millionen Steinblöcken. Als Baumaterial diente hauptsächlich örtlich vorkommender Kalkstein. Für einige Kammern wurde Granit verwendet. Die Verkleidung der Pyramide bestand ursprünglich aus weißem Tura-Kalkstein, der im Mittelalter fast vollständig abgetragen wurde. Das Gesamtgewicht beträgt 6,5 Millionen Tonnen. Was einem durchschnittlichen Gewicht eines Steins von 2.5 Tonnen entspricht. Die Pyramide ist bis auf 3 Bogenminuten, exakt nach den Himmelsrichtungen orientiert. Der Unterschied in den Längen ihrer vier Seiten beträgt weniger als ein Promille. Ihre Einmessung wurde in sehr hoher Genauigkeit vorgenommen. Diese Präzision ist in den nachfolgenden Bauten nicht mehr erreicht worden. Die geografische Position wird in etwa wie folgt angegeben: Geographische Breite: 29° 58' 44'' N Geographische Länge: 31° 07' 57'' O Sie ist das bis heute einzigst erhalten gebliebene Monument der klassischen sieben Weltwunder. Es wird des öfteren behauptet, die Cheops-Pyramide sei ein architektonischer Ausdruck für die Quadratur des Kreises. Das wird aus dem Neigungswinkel der Seiten geschlossen, der in der Nähe des Winkels für eine Quadraturkonstruktion liegen, die auf dem Zahlenverhältnis 14:11 basiert und damit einen Näherungswert für Pi Viertel darstellt. |
| Ausgangspunkt ist die quadratische Basisfläche der Pyramide. Der Kreis der den gleichen Umfang wie das Quadrat besitzt, bestimmt mit seinem Radius auch die Höhe der Pyramide. |
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Der Umfang des Kreises ist
gleich dem Umfang der Pyramide: U = UKreis = UQuadrat U = 2pi · r = 4a Der Radius der Kreises ist gleich der Höhe der Pyramide: U = 2pi · h = 4a |
| Abbildung 7a.2 - Die Quadraturbedingung |
| Ob die Ägypter die genaue Quadratur oder einen Näherungswert benutzt haben, lässt sich am Steigungswinkel der Cheops-Pyramide überprüfen. |
| Für den genauen Steigungswinkel gilt: |
| Der Umstand läßt sich vereinfachen, wenn für Pi eine Näherung benutzt wird. Die einfachste Annäherung an Pi ist die Anwendung eines Teiles der archimedischen Ungleichung: |
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| Für den genäherten Steigungswinkel gilt: |
| In seinem 1997 veröffentlichtem Buch "Das erste Weltwunder" gibt Mark Lehner auf Seite 17 einen Wert von 51° 50' 40'' für den Neigungswinkel der Cheops-Pyramide an. |
| exakterWert: | 51° 51' 14,31'' |
| Näherungswert: | 51° 50' 33,98'' |
| Lehner | 51° 50' 40'' |
| Die Differenz des
tatsächlichen Wertes (Lehner) mit der exakten Quadratur
beträgt etwa eine Bogenminute, während die Differenz
zur Näherungslösung nur 6 Bogensekunden ausmacht. Die Konsequenz ist, dass die Cheopspyramide mit der 14:11 Proportion gebaut worden ist, und nicht mit dem exakten Quadraturwert pi/4. Und das sagt noch gar nichts darüber aus, ob die Ägypter nur die 14:11-Proportion gesehen haben, oder ob sie von dem tatsächlichen Wert für Pi Kenntnis hatten. |
| Ein weiterer Anhaltspunkt für das 14:11
Verhältnis ergibt sich aus der Existenz zweier anderen
Pyramiden, deren Steigungswinkel Mark Lehner (und auch
ältere Quellen) mit 51° 50' 35''.
angibt. Snofru (Meidum) und Niuserre (Abusir). Die Meidum-Pyramide wurde unter Pharao Snofru zwischen 2670 und 2620 v. Chr. in Meidum erbaut und ist damit älter als die Cheopspyramide. Das heutige Erscheinungsbild dieser Pyramide ist das eines dreistufigen Turmes, der aus einem Trümmerhaufen herausragt. Dies ist auf das Wegbrechen des Außenmantels und der Stufenverfüllungen zurückzuführen ist. Der angegebene Böschungswinkel ist daher ein rekonstruierter. Die Niuserre-Pyramide des ägyptischen Pharao Niuserre (2455 bis 2420 v. Chr.) befindet sich in Abusir. Von der ursprünglich mit Kalkstein verkleideten Pyramide ist nur noch der siebenstufige Kern erhalten geblieben. In Anbetracht das den Pyramiden die Außenverkleidung fehlt sind Lehners Angaben recht genau, da sie im Sekundenbereich angelegt sind. Die Differenz der tatsächlichen Böschungswinkel zur Näherungslösung beträgt nur 1 Bogensekunde. Alle drei Pyramiden besitzen damit die 14:11-Proportion, mit hinreichender Genauigkeit. Die Konsequenz ist, dass alle drei Pyramiden mit der 14:11 Proportion gebaut worden sind, und nicht mit dem exakten Quadraturwert pi/4. |
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Nimmt man ein rechtwinkliges Dreieck, (in
der Abbildung die Dreiecke MBC bzw. MAC)
mit dem Höhen/Seiten - Verhältnis 14:11,
so läßt sich daraus erst das Quadraturdreieck und
anschließend die komplette Quadraturkonstruktion
1 ableiten. Schneidet man die Cheopspyramide in
Nord-Süd oder Ost-West-Richtung durch, so erhält man
als Schnittfigur das Dreieck ABC. |
| Abbildung 7.3 - Das Quadraturdreieck 1 |
| Außer der Verhältnissen 7:6,
7:5, 6:5, 4:3, 5:4, 3:2, 2:1 gehört die 14:11
Proportion zu den in Ägypten verbauten (und von der
Ägyptologie anerkannten) Steigungsverhältnissen bei
Pyramiden. Wobei die 14:11 Proportion
schon ein wenig aus dem Kanon der Böschungswinkel
herausragt. Erstens durch das Zahlenverhältnis – die anderen Pyramiden besitzen ziemlich einfache Verhältnisse, alle mit Zahlen unter 10 bzw. genauer sogar kleiner als 8.. Zweitens wurde die 14:11 Proportion nur im alten Reich in Pyramiden verbaut, genauer während der 4. und zu Anfang der 5. Dynastie. Alle neueren Pyramiden besitzen einfachere Zahlenverhältnisse, während die älteren Pyramiden noch alle als Stufenpyramiden gebaut wurden.. Es existieren, außer den Pyramiden, bisher keine archäologischen Funde (von Aufzeichnungen) die zeigen das den Ägyptern der Zusammenhang der 14:11 Proportion mit der Rektifikation des Kreises bekannt gewesen ist. Daraus ziehen eine Reihe von heutigen Ägyptologen und auch Mathematiker den Schluss, das die Übereinstimmung weitgehendst als historisch zufällig anzusehen ist. Verfrüht und voreingenommen, wie noch zu sehen sein wird. Die Ägypter wurden von ihren Nachbarvölkern als „Seilschlinger“ bezeichnet wegen ihrer Methoden, mit Seildreiecken (Zwölf-Knoten-Schnur) große Ländereien zu vermessen. Und mit Seilen lässt sich die Rektifikation des Kreises fast spielerisch vornehmen, ohne sich große Gedanken um Pi machen zu müssen. Mit einem Seil und zwei Pflöcken zeichnet man einen Kreis in den Sand. Damit ist schon mal der Radius bzw. der Durchmesser des Kreises durch die Seillänge bekannt. Es gibt nun zwei Möglichkeiten. 1) Man nimmt den Durchmesser des Kreises als Seillänge und trägt es auf den Kreisumfang ab. Dabei ergibt sich direkt das der Durchmesser etwas mehr als 3 mal auf den Umfang passt. Entsprechend der Radius 6 mal. Damit hätte man also direkt als ersten Näherungswert 3 für Pi gefunden. 2) Man legt ein weiteres Seil auf den gezeichneten Kreis und schneidet es so ab, dass der Umfang einmal erfasst wird. Dann kann man das Umfangsseil nehmen und hat eine Abbildung des Kreisumfangs auf eine Strecke erhalten. Diese Abwicklung des Kreisumfanges auf ein Seil ist wahrscheinlich sogar eine allgemein bekannte Methode gewesen. Denn sie erlaubt z.B. die Ermittlung der Ziegelanzahl für ein zylinderförmiges Getreidesilo, ohne die Zahl Pi kennen oder benutzen zu müssen. Man braucht doch nur das Umfangsseil zu straffen und reiht so viele Ziegel entlang der Strecke auf, bis die Strecke erschöpft ist. Durch die Multiplikation der Ziegelanzahl pro Umfang mit der Anzahl der übereinander gestapelten Reihen erhält man die Gesamtanzahl der Ziegel für das Bauwerk. |
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Eine weitere Anwendung mit dem
abgewickelten Umfang: Durch einmaliges Falten des Umfangseils kann man dieses halbieren. Durch nochmalige Faltung wird das Seil geviertelt. Jetzt braucht man das Seil nur noch so zu falten, dass die einzelnen Viertel jeweils die Seiten eines Quadrates bilden. |
| Abbildung 7.4 - Seil-Quadratur |
| Damit wäre auch ummittelbar einsichtig dass sich der Umfang eines Kreises in ein Quadrat transformieren lässt. Das dieser Zusammenhang den Ägyptern unbekannt gewesen sein soll ist mehr als unwahrscheinlich. Wahrscheinlicher ist eher, dass die Ägypter in dem geschilderten Seilakt die Uridee für die gesamte Thematik der Quadratur des Kreises fanden – Die Idee das ein Kreis überhaupt in ein Quadrat überführt werden kann. |
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Die einfache wie auch geniale Idee war nun Kreis und Quadrat mit einem Dreieck zu verbinden. Und zwar so dass die Höhe des Dreiecks gleich dem Radius des Kreises und die Basisseite des Dreiecks gleich der Quadratseite ist. |
| Abbildung 7.5 - Seil-Quadratur erweitert |
| Jetzt braucht man nämlich nur
noch das Verhältnis von Dreieckshöhe zur Basisseite
ermitteln und hätte damit das Problem der Umfangsmessung
auf eine einfache Proportion zwischen
zwei Strecken zurückgeführt. Auch die Proportionsbestimmung wäre ziemlich einfach gewesen. Man nimmt die längere der beiden Strecken, also die Basisseite des Dreiecks und teilt diese sukzessive durch die natürlichen Zahlen also durch 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.. Bei jeder Teilung wird die Höhe des Dreiecks mit den Teilungen verglichen. Ob es eine Anzahl von Einheiten gibt, die mit der Höhe übereinstimmen. Bei einem Teilungsfaktor von 11 (also beim 10ten Versuch) wird man fündig. Die Höhe des Dreiecks beträgt dann 7 Teile. Daraus lässt sich direkt folgende Faustregel ableiten: Nimm den Radius eines Kreises und teile ihn in 7 Teile. Dann ergeben 44 Teile den Umfang des Kreises. Oder auf den Durchmesser bezogen: Nimm den Durchmesser eines Kreises und teile ihn in 7 Teile. 22 Teile ergeben dann den Umfang des Kreises. Verdoppelt man die Teilungen im Dreieck auf 14:22, dann lässt sich auch das Böschungsverhältnis für das halbe (rechtwinklige) Quadraturdreieck mit 14:11 direkt ermitteln. Die Konsequenz insgesamt ist also dass, mit den damaligen Mitteln und der damaligen Sichtweise, gerade für jemand der mit Seilen arbeitet und sich geometrisch beschäftigt, eine Rektifikation des Kreises möglich und auch wahrscheinlich war. Das Problem lässt sich ja als einfache Proportion sehen und behandeln, ohne nach der Zahl Pi explizit fragen zu müssen. |
| Um etwa 3000 v. Chr. setzte sich
Menes durch und vereinigte Ober- und Unterägypten. Er
war der erste Herrscher Ägyptens der den Titel Pharao
trug. Das alte Reich der Ägypter beginnt etwa 2700 v.
Chr. mit dem Pharao Djoser, der als erster die
Stufenpyramide in Sakkara erschuf. Die Ägypter hätten
also 300 Jahre lang Zeit gehabt, über die Landvermessung
und die Beschäftigung mit der Geometrie, zur Pyramide zu
gelangen. Die erste Pyramide mit 14:11 Verhältnis wurde unter Pharao Snofru (4. Dynastie) zwischen 2670 und 2620 v. Chr. in Meidum gebaut. Danach hätten die Ägypter weitere 30-70 Jahre gebraucht um die Rektifikation des Kreises zu finden. Es vergingen aber noch mal etwa 50 Jahre bis die Ägypter beide Rektifikationskonstruktionen und die entsprechenden Zahlenverhältnisse kannten und dieses Wissen im Gizeh-Komplex verbauten.Die Cheops-Pyramide wurde 2580 v. Chr. von dem Pharao Chufu erbaut. Die Chefren-Pyramide wurde um 2550 v.Chr. erschaffen. Der Sphinx soll entweder von Cheops oder von Chefren errichtet worden sein. Ungefähr zwischen 2540 und 2520 v. Chr. entstand dann die Mykerinos-Pyramide. Das Grab der Chentkaus I. wurde zwischen 2530 und 2500 errichtet. Der gesamte Gizeh-Komplex entstand zwischen 2600 und 2500 v. Chr., also während der 4. Dynastie. Die Niuserre-Pyramide des ägyptischen Pharao Niuserre wurde 2455 bis 2420 v. Chr. in Abusir errichtet und entstand damit noch mal etwa 100 Jahre später. Hinzu kommt das Kreis, Dreieck und Quadrat fundamentale Figuren der damaligen Geometrie darstellten und ebenfalls die Basiselemente der gesamten antiken Architektur bildeten. Eine Konstruktion wie die Quadratur über das 14:11 Dreieck wäre, nach damaliger Sicht, Ausdruck eines perfekten (göttlichen) Zusammenspiels dieser universellen Bauelemente zu einem Ganzen gewesen. Auch aufgrund der verblüffenden Einfachheit der Quadratur ist es eher unwahrscheinlich, dass den Ägyptern diese Konstruktion nicht bekannt gewesen ist. |
| Die Entwicklung des mathematischen
Denkens, bei getrennt lebenden Völkern, hat sich unter
ähnlichen gesellschaftlichen Bedingungen fast gleich
vollzogen. Mit dem Entstehen der Hochkulturen in Sumer
und Ägypten gegen Ende des 4. vorchristlichen
Jahrtausends entwickelte sich die Mathematik, wohl als
religiöses und kaufmännisches Instrument. Ein wichtiger
Bestandteil der Mathematik waren Maße und Proportionen,
da sie in Kunst und Architektur gebraucht wurden. Schon die Arche Noah und der Salomonische Tempel waren, wie die Bibel berichtet, in einfachen aber ganz genau bestimmten Verhältnissen gebaut. Mit ziemlicher Sicherheit darf angenommen werden, dass auch die alten Ägypter ihren Bauten geometrische Maßverhältnisse zugrunde legten. Eingehende Untersuchungen haben ergeben, dass das ägyptische Dreieck, also der Pyramidenschnitt mit dem Verhältnis von 8 zu 5 zwischen Basis und Höhe "der Schlüssel aller Verhältnisse" in der ägyptischen Baukunst sei.Bei einzelnen Pyramidenbauten scheinen die Maße der Hypotenuse und die halbe Basis nach dem goldenen Schnitt bestimmt zu sein. Und es existieren einige Pyramiden die ein 14:11 Verhältnis aufweisen, wenn man Pyramidenhöhe und Basis betrachtet. Die Griechen haben ihre Tempel nach einer festgesetzten Norm aufgebaut, meistens nach einfachen in ganzen Zahlen ausdrückbaren Verhältnissen. Auch der goldene Schnitt hat hier eine besondere Rolle gespielt. Wie John Michell in seinem Buch „Maßsysteme der Tempel“ zeigen kann existierten bei allen Völkern, die Hochkulturen hervorbrachten, ganze Systeme von Maßen und Maßverhältnissen also Proportionen und Proportionsmodule. Da die antike Mathematik hauptsächlich für praktische Aufgaben verwendet wurde, waren die alten Kulturen lediglich daran interessiert möglichst einfache Zahlenverhältnisse als Lösungen ihrer Probleme zu finden. Wenn dies geschehen war, war das Problem auch erledigt und man dachte nicht weiter darüber nach. Bis die Griechen kamen und alles grundlegend änderten. Die griechischen Mathematiker schöpften aus dem reichhaltigen Fundus der bis dahin überlieferten mathematischen Aufgaben und Überlegungen der Antike. Der Weg des Wissens ging über Ägypten und Babylon ins griechische Kleinasien und von dort erst nach Griechenland. Die Griechen waren die Ersten die durch Anwendung bestimmter Denkstrategien wie Analyse also Deduktion aufs Wesentliche, Axiomenbildung und Beweis, der Mathematik das Werkzeug gaben zu einer Wissenschaft zu werden. Die Wiege der Mathematik aber stand in Ägypten und im Zweistromland. Die Griechen brachten dem Kind lediglich das Laufen bei. Die folgende Abhandlung gibt eine Übersicht zur geschichtlichen Entwicklung bzw. Entdeckung und Eingrenzung der Quadratur des Kreises auf Basis der 14:11 und 11:7 Proportionen und der dazu gehörigen Quadraturkonstruktionen. Es wird gezeigt das die 14:11 Proportion sowohl bei der Cheops-Pyramide wie bei der Gestaltung des gesamten Gizeh-Komplexes eine tragende Rolle spielt. |
7a.9.1 – LängenDie kleinste ägyptische Längeneinheit war das Djeba. Djeba war die Bezeichnung der Maßeinheit „Finger“ (englisch digit), der 1,87 Zentimeter maß.4 „Finger“ ergaben die Länge einer Handbreite (Schesep) 20 „Finger“ ergaben einen Oberarm (Remen) 24 „Finger“ ergaben eine kleine Elle (meh-scherer) 28 „Finger“ ergaben eine Königselle (Meh) Schesep, auch shep oder henet, (englisch palm) war die altägyptische Bezeichnung der „Handbreite“, die 7,5 Zentimeter maß. 7 Schesep ergaben eine Königselle (Meh) 6 Schesep ergaben die kleine Elle (meh-scherer), mit ca. 0,45 Meter. 5 Schesep ergaben ein Remen, mit ca. 0,374 Meter Meh, auch meh-nesut, (englisch cubit), war die altägyptische Bezeichnung der „Königselle“, die ca. 0,524 Meter maß. 1 Meh = 7 Schesep = 28 Djeba 1 meh-scherer = 6 Schesep = 24 Djeba 7a.9.2 – MessschnüreDie sogenannten Harpedonapten (griechisch: „Seilspanner“; Zusammensetzung aus harpedonä = Seil und hapto = anfassen, anknüpfen) waren die Feldvermesser im alten Ägypten. Sie allein waren zuständig für die Bestimmung von Winkeln und vermaßen Bauwerke und Grundstücke im Auftrag des Pharao.Für die Bestimmung von Winkeln verwendeten die Harpedonapten Schnüre verschiedener Länge. Die drei grundlegenden Schnüre hatten die Längen: 84 Schesep - lange Schnur = 12 Meh (Königselle) 72 Schesep - mittlere Schnur = 12 meh-scherer (kleine Elle) 60 Schesep - kurze Schnur Die drei grundlegenden Schnüre wurden bei Bedarf noch proportional verkleinert, indem man sie in 12 Abschnitte unterteilte. Die lange Schnur ist in Abschnitte zu 7 Schesep aufgeteilt. Die mittlere Schnur ist in Abschnitte zu 6 Schesep aufgeteilt. Die kurze Schnur ist in Abschnitte zu 5 Schesep aufgeteilt. Die Schnüre basieren auch auf dem pythagoreischen Tripel 3 : 4 : 5. Durch Verlängerung der kurzen Schnur auf eine Länge von 70 Schesep (10 Meh) oder Verkürzung der mittleren Schnur erhielten sie die Möglichkeit der Aufspannung des pythagoreischen Tripels 20 : 21 : 29. Das kurze Stück der Schnur wird als Kathete mit 20 Schesep dabei senkrecht aufgespannt. Diese Aufspannung ist der direkte Verbindung zwischen den beiden pythagoreischen Zahlen-Tripel. Weitere Beispiele für pythagoreische Zahlen-Tripel: Tripel (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (12, 35, 37), (9, 40, 41) Summe 30 40 56 84 90 7a.9.3 – Winkel
Allgemein gesehen
wird hier eine senkrechte Komponente mit einer
waagerechten Komponente verglichen. Wobei die senkrechte
Komponente normiert wird, indem sie auf einen Standard
von 1 Königselle (1 Meh = 7 Schesep) gesetzt wird. 7a.10 - KonsequenzenInsgesamt stand den
Ägyptern somit ein differenziertes Instrumentarium zur
Verfügung, um hinreichend genaue Längen- und
Winkelmessungen machen zu können. |
