Zur Geschichte der Quadratur des Kreises

Der Radius der Kreises ist gleich der Höhe der Pyramide:

U = 2π · h = 4a

Schneidet man die Cheopspyramide in Nord-Süd oder Ost-West-Richtung durch, so erhält man als Schnittfigur das Dreieck ABC.

Des öfteren werden Quadraturdreiecke daher auch als Cheopspyramiden bezeichnet.

Die Summe der „Möndchen“ entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Da nur bestimmte Möndchen, z.B. die über der Seite des Quadrates, nicht jedoch die über der Seite eines regelmäßigen Sechsecks, quadrierbar sind ist die allgemeine Quadratur des Kreises auf diese Weise jedoch nicht zu erreichen.

Die Überführung von Dreiecken in Rechtecke, von Rechtecken in Quadrate oder die Addition zweier Quadrate war mit den bekannten geometrischen Sätzen bereits damals elementar zu bewältigen.

Die grundlegende Frage, ob auch krummlienig begrenzte Flächen exakt in Quadrate überführt werden können, konnte um 440 v. Chr. erstmalig von dem Mathematiker und Astronom Hippokrates von Chios positiv beantwortet werden.
So konnte man also bereits im antiken Griechenland nachweisen, dass auch krummlienig begrenzte Flächenstücke durch rationale Zahlen berechnet werden können.

Hippias von Elis entwickelte etwa 425 v. Chr. zur Lösung der Winkeldreiteilung eine Kurve, die so genannte Quadratrix (rot). Mechanisch gesehen kann sie durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung erzeugt werden.

Die Quadratrix ist eines der ältesten Beispiele einer kinematisch erzeugten Kurve. Zu den ältesten bereits seit der Antike bekannten Quadratrizes, die bei der Kreisquadratur Verwendung finden, gehören die Quadratrix des Hippias. Siehe dazu: Quadratrix und Quadratur

Euklid gelang der Beweis, das 3 < π < 4 gilt.

Doch erst Archimedes konnte rund 100 Jahre später diese Ungleichung verfeinern.

Euklid gibt in seinen Elementen Buch XII, § 2 an, dass sich die Fläche eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält.

A_Kreis ≈ d²

Diese Proportionalität taucht hier so ganz unvermittelt aus dem Dunkel der Geschichte auf, muss aber schon länger bekannt gewesen sein.
Denn diese Proportionalität konnte bereits 100 Jahre früher, nämlich aus der Aussage des Antiphon gefolgert werden.

Wenn die Fläche eines Kreises proportional zu einer Quadratfläche ist, dann existiert ebenfalls ein Proportionalitätsfaktor zwischen dieser Quadratfläche und dem Quadrat aus dem Durchmesser. Damit ist insgesamt die Kreisfläche proportional zum Quadrat des Durchmessers. Die Frage die hier auftaucht, ist die nach der Größe des Proportionalitätsfaktors. Und diese Frage werden sich die Griechen auch gestellt haben.

Und dies ist ein Indiz für die Existenz mindestens einer Quadraturkonstruktion. Wenn eine Quadratur des Kreises als Konstruktion existierte, dann ist es logisch das es auch einen Proportionalitätsfaktor zwischen dem Quadrat aus dem Durchmesser und dem Quadrat aus der Quadrierung (Kreisfläche) gibt.

Es ist davon auszugehen, dass Euklid in seinen Werken nur gesichertes Material aufgenommen hat, also die Proportionalität Kreisfläche zum Durchmesserquadrat zur damaligen Zeit eine allgemein bekannte war.

Ausgehend bzw. ableitbar von einer Quadraturkonstruktion müssen damals schon Zahlenverhältnisse also Proportionalitätsfaktoren bekannt gewesen sein. Weil aber auch bekannt war, dass es sich um Näherungen handelte, hat Euklid in seinem Werk darauf verzichtet hier ein Zahlenverhältnis zu nennen und sich nur auf die Proportionalität von Kreisfläche und Durchmesserquadrat beschränkt.

Nikomedes führte die sogenannte Konchoide des Nikomedes (Muschelkurve) ein, mit deren Hilfe er geometrische Probleme der Antike lösen konnte. In Polarkoordinaten: r = a/cos φ ± b In kartesischen Koordinaten: (x - a)2·(x2 + y2) - b2·x2 = 0

Zu den Lebensdaten des Nikomedes liegen keine genauen Quellen vor. Nikomedes nimmt jedoch in seinen Schriften auf das Werk des Eratosthenes (276/273 v. Chr.-194 v. Chr.) Bezug. Danach müsste er etwa um die gleiche Zeit wie Eratosthenes oder etwas später gelebt haben. Die Bezeichnung bestimmter Kurven als Konchoid-ähnlich in den Überlieferungen des Apollonios von Perge (262 v. Chr.–190 v. Chr.) kann auch als Bezug auf Nikomedes Werk ausgelegt werden, woraus abgeleitet wird, das Apollonios etwa um die gleiche Zeit wie Nikomedes oder etwas später gelebt haben muss.

Außerdem befasste sich Nikomedes mit der Quadratur des Kreises. Er soll ebenfalls die von Hippias von Elis angegebene Quadratrix zur Quadratur des Kreises verwendet haben.
In historischen Quellen wird die Quadratrix bei Proklos (412-485), Pappos (3./4. Jahrhundert) und Lamblichos (ca. 240-325) erwähnt. Proklos gibt Hippias als den Entdecker einer als Quadratrix bezeichneten Kurve an und beschreibt an einer anderen Stelle, wie Hippias diese Kurve zur Dreiteilung eines beliebigen Winkels verwendet.

Pappos hingegen beschreibt, wie eine als Quadratrix bezeichnete Kurve von Dinostratos, Nikomedes und anderen zur Quadratur des Kreises verwendet wurde. Dabei erwähnt er jedoch weder Hippias namentlich, noch benennt er explizit einen Entdecker der Kurve.

Lamblichos gibt lediglich in einem kurzen Satz an, dass Nikomedes eine als Quadratrix bezeichnete Kurve zur Quadratur des Kreises verwendet hat.

Obwohl es aufgrund der Bezeichnung der Kurve als Quadratrix bei Proklos denkbar ist, dass Hippias die Kurve auch selbst zur Quadratur verwendet hat, wird diese Quellenlage von Mathematikhistorikern meist so gedeutet, dass Hippias die Kurve zwar entdeckt, aber selbst nur zur Dreiteilung des Winkels verwandt hat und ihre Anwendung zur Quadratur auf spätere Mathematiker, insbesondere Dinostratos und Nikomedes zurückgeht.

A_Kreis = ½ · Radius · Umfang

Archimedes beweist den Satz indirekt. Indem er die Fläche des Kreises einmal als größer und einmal als kleiner als die Dreiecksfläche annimmt. Beide Aussagen werden dann zum Widerspruch geführt. Die Konsequenz ist daher, dass die Kreisfläche nur gleich der Dreiecksfläche sein kann.

Nach heutiger Sicht hat Archimedes mit diesem Satz das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage nach der Konstruierbarkeit des Umfangs eines Kreises (aus dem vorgegebenen Radius) zurückgeführt. Und damit auf die Konstruierbarkeit von π.
Mit diesem Satz taucht auch hier wieder unvermittelt ein Wissen auf, dass schon länger bekannt gewesen sein muss bzw. für das es Vorläufer gegeben haben muss. In diesem Satz verborgen steckt das Wissen das die Kreisfläche proportional zum Produkt aus Radius und Umfang ist.

Wie zu sehen war, lässt sich die Proportionalität von Kreisfläche und Durchmesserquadrat schon aus der Aussage von Antiphon folgern. Das ließe sich allgemein so formulieren:

A_Kreis = d² · Faktor1

Man kann voraus setzen das eine Rektifikation des Kreises bekannt war, und damit auch diese Beziehung

U_Kreis = d · Faktor2

Bildet man das Produkt Durchmesser mal Umfang dann ergibt sich:

d · U_Kreis = d · (d · Faktor2) = d² · Faktor2

Also ist das Rechteck aus Durchmesser (Radius) und Umfang auch proportional zum Durchmesserquadrat bzw. zur Kreisfläche. Das müsste schon zu Zeiten Antiphons bekannt gewesen sein. Und ohne zu wissen das es nur einen einzigen Proportionalitätsfaktor gibt.
Außerdem ist in dem Satz über die Kreisfläche auch das Wissen enthalten das bei Rektifikation und Quadratur des Kreises nur ein Proportionalitätsfaktor nämlich π existiert. Hier könnte es ebenfalls Vorläufer gegeben haben, denn diese Zusammenhänge sind auch in der Rektifikationskonstruktion über das 14:11 Dreieck enthalten, wenn man diese zur Quadratur erweitert. Die von Archimedes angegebene Gleichung:

A_Kreis = ½ · Radius · Umfang

Durch eine kleine Umstellung der Gleichung entsteht:

A_Kreis = Radius · Umfang/2

Und dies lässt sich unmittelbar als ein Rechteck interpretieren, mit den Seitenlängen r und U/2. Dieses Rechteck lässt sich auch direkt aus der Rektifikationskonstruktion über das 14:11 Dreieck ableiten. Siehe Quadratur 1

Quadrat und Kreis besitzen den gleichen Umfang, also ist eine Quadratseite gleich U/4. Durch Anlegen einer Quadratseite an eine zweite Quadratseite entsteht eine Strecke mit der Länge U/2. Das blaue Rechteck ist dann das Rechteck Radius mal Umfang Halbe und entspricht also der Kreisfläche. Durch die komplette Abwicklung des Umfanges lässt sich das archimedische Dreieck dann leicht konstruieren.

Insgesamt ist die Konsequenz das die Beziehung A_Kreis ≈ Radius · Umfang also schon länger bekannt gewesen sein muss.
Es ist daher sehr wahrscheinlich das Archimedes, genau wie Thales und Pythagoras, bei seinem ersten Satz aus dem Fundus der allgemein bekannten Überlegungen und Konstruktionen schöpfte.
Die Genialität liegt darin das er als Erster eine exakte Gleichung für die Kreisfläche angeben konnte und diesen Sachverhalt durch ein rechtwinkliges Dreieck derart darstellte, das Umfang und Fläche des Kreises so miteinander verknüpft sind, das nur ein Proportionalitätsfaktor (nämlich π) existiert.

Satz 3: Der Umfang eines Kreises ist größer als 3 10/71 und kleiner als 3 1/7 des Durchmessers.

Daraus folgt direkt:

bzw.

Archimedes greift hier den Gedanken von Bryson auf, nämlich der beliebigen Annäherung des Kreises durch eingeschriebene und umschreibende regelmäßige Vielecke. Ausgehend vom eingeschriebenen Sechseck und einem umschreibenden Dreieck gelangt Archimedes, durch sukzessive Verdoppelung der Seitenzahl, jeweils bis zum 96-Eck.
Eine Abschätzung der in den einzelnen Rechenschritten auftretenden Quadratwurzeln ergibt die genannten Schranken. Und gleichzeitig wird, durch die obere Schranke der Ungleichung, eine ebenso einfache wie genaue Näherung dieser Zahl, nämlich 22/7 angegeben. Ein Wert, der für praktische Zwecke, bis heute Verwendung findet.

Archimedes liefert damit als Erster ein vollständiges Verfahren zur Ermittlung der Kreiszahl. Dieses Verfahren war bis ins 17. Jahrhundert praktisch das wichtigste Verfahren zur Bestimmung der Kreiskonstanten. Erst mit der Arbeit von Huygens war der rein geometrische Ansatz zur Bestimmung der Kreiszahl im wesentlichen ausgeschöpft.

Satz 2: Die Fläche eines Kreises verhält sich zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie 11/14.

Also:

A_Kreis = d² · 11/14

Der zweite Satz ist eine Folgerung aus den beiden anderen Sätzen. Das sich die Fläche eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält, war ja bereits seit Antiphon bekannt und erstmals 100 Jahre zuvor von Euklid angegeben worden. Archimedes gibt hier als Erster explizit den Wert der Proportionalitätskonstanten mit 11:14 an.

Mit den drei Sätzen des Archimedes ist auch die Rektifikation des Kreises also die Umfangsbestimmung eindeutig gegeben. Es gilt:

A_Kreis = ½ · Radius · Umfang = ½ · r · U = ¼ · d · U
A_Kreis = d² · 11/14 = r² · 22/7

Zusammen genommen ergibt sich:

¼ · d · U = A_Kreis = d² · 11/14

Umstellen der Gleichung zum Umfang hin ergibt:

U = d · 11/14 · 4 = d · 22/7

U = d · 22/7 = r · 44/7 ==> π = 22/7

In einer weiteren Arbeit „Über Spiralen“ beschreibt Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten Spirale, die durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung gewonnen wird.
Er zeigt, dass durch das Anlegen der Tangente an diese Spirale der Umfang eines Kreises auf einer Geraden abgetragen werden kann.
Auf die damit geleistete Quadratur des Kreises verweisen erst spätere Kommentatoren hin. Archimedes selbst macht hierzu keine Aussage. Wie bei der Quadratrix sind weder die Spirale selbst noch ihre Tangente mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

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