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DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG
Copyright © Klaus Piontzik
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| 2.1.0 | Die Quadratur des Kreises 1 und das Quadratur-Dreieck |
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Die Quadratur des Kreises kann geometrisch
wie folgt dargestellt werden: Nimmt man einen Kreis und ein Quadrat, die den gleichen Umfang besitzen, und ordnet beide symmetrisch zu einem Mittelpunkt M, in einem kartesischen Koordinatensystem an (Abbildung 1), so läßt sich ein Dreieck ABC konstruieren, dessen Höhe gleich dem Radius des Kreises, und dessen Grundseite gleich einer Quadratseite ist. Das Dreieck ABC wird als Quadratur-Dreieck bezeichnet. |
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| Abbildung 1 - Die Quadratur des Kreises - Konstruktion 1 |
| 2.1.1 | Definition der Strecken der Quadratur-Konstruktion 1 |
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| Um die Gesamtkonstruktion in ihren Größen bestimmen zu können, müssen die vorkommenden Strecken, anhand Abbildung 1, erst einmal defininiert werden. |
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| 2.1.2 | Die Quadratur-Bedingung |
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| Kreis und Quadrat besitzen gleichen Umfang : |
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| 2.1.3 | Das Verhältnis für die Seiten |
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| d:a = h:s = 4:p |
| 2.1.4 | Das Verhältnis für die Winkel |
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| 2.1.5 | Die Näherung für Pi |
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| Die bisherigen Betrachtungen sind mathematisch exakt. In der Konstruktion aber, wie in Abbildung 1 dargestellt, ist dies durch Zirkel und Lineal nicht lösbar. Für die geometrische Konstruktion müssen die einzelnen Längen erst durch eine Rechnung ermittelt werden. |
| Dieser Umstand läßt sich vereinfachen, wenn für p eine Näherung benutzt wird. Wie schon im ersten Kapitel dargestellt, besteht die einfachste Annäherung an p in der Anwendung eines Teiles der archimedischen Ungleichung: |
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| 2.1.6 | Die Näherung für die Seiten |
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| Für die Gesamtkonstruktion bzw. das Quadratur-Dreieck ergibt sich dann folgendes Verhältnis: |
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| Für das Höhen/Seitenverhältnis der Schnitt-Dreiecke gilt dann: |
| h:s = 14:11 |
| 2.1.7 | Die Näherung für die Winkel |
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| Für die Winkel gilt mit dieser Näherung: |
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| 2.1.8 | Das erste Quadratur-Dreieck |
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Nimmt man ein rechtwinkliges Dreieck, (in
Abbildung 1 bzw. 2 entsprechend den Schnitt- Dreiecken MBC bzw. MAC) mit dem
Höhen/Seiten - Verhältnis 14:11, so läßt sich
daraus auch die komplette Quadratur aus Abbildung 1
ableiten. Aus Abbildung 2 wird erkenntlich, wie mittels eines Schnitt-Dreieckes und dessen Entwicklung, durch Spiegelung, das Quadratur-Dreieck 1 erzeugt wird. Der nächste Schritt wäre die weitere Entfaltung in die Gesamtkonstruktion 1, also die Erzeugung des Kreises und des Quadrates. |
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| Abbildung 2 - Das Quadratur-Dreieck 1 | ||
| Somit steht eine Technik zur Verfügung, die es gestattet einen Kreis in ein umfanggleiches Quadrat, oder umgekehrt ein Quadrat in einen umfangsgleichen Kreis, auf geometrischen Wege, zu transformieren. |
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Seiten 227 Bilder, davon 55 in Farbe Herstellung und Verlag: Books on Demand GmbH, Norderstedt ISBN 9783757881207 Ladenpreis: 22 Euro |
