Die
einfachste Art und Weise eine Ellipse in einem
kartesischen Koordinatensystem darzustellen, geschieht in
der sogenannten Mittelpunktsform.
Ausgangspunkt der Betrachtung sind die beiden Kreise, die
durch die große und die kleine Halbachse gebildet werden
und zwischen denen die Ellipse liegt.
Abbildung 8.1 - Ellipse und Winkel
Der Punkt P verfügt über die
Koordinaten: P = (xa ; yb) mit
Mit Hilfe der Abbildung 8.1 lassen sich
jetzt folgende Streckenverhältnisse für den
Mittelpunktswinkel β angeben. Der Winkel β
wird auch reduzierte Breite
genannt.
tan β = ya/xa = yb/xb
cos β = xa/a = xb
===>
xa = a cos β
sin β = ya/a = yb/b
===>
yb= b sin b
8.1
Der Mittelpunktabstand
Für den
Mittelpunktsabstand R des Punktes P läßt sich folgende Beziehung
ableiten:
R² = xa² + yb²
= a²⋅cos²β + b²⋅sin²β
= a² - a²⋅sin²β + b²⋅sin²β
= a²⋅[1 - (a²-b²)/a²⋅sin²β]
und mit ε² =(a²-b²)/a² ergibt sich:
R² = a²⋅(1-ε²⋅sin²β)
Insgesamt gilt für den Mittelpunktsabstand R
des Punktes P:
8.2
Die geozentrische Breite
In der Abbildung 8.1 lässt sich vom
Mittelpunktswinkel β
noch ein weiterer Mittelpunktswinkel unterscheiden,
namlich der Winkel ψ.
Der Winkel ψ
wird auch geozentrische Breite
genannt.
Dies ist der Winkel, den R
mit der x-Achse bildet, also
∠AMP = ψ
Für den Winkel ψ gelten die folgenden Beziehungen:
tan ψ = yb/xa = (b⋅sinβ)/(a⋅cosβ) = b/a⋅tanβ
mit fo= b/a ergibt sich:
8.3
Die Mittelpunktsform
Aus der Trigonometrie stammt die Gleichung:
cos²β + sin²β = 1
Aus der Ableitung für die reduzierte Breite:
xa = a⋅cosβ und yb = b⋅sinβ
Einsetzen der Breiten-Beziehungen in die
trigonometrische Gleichung:
In einem kartesischen Koordinatensystem lassen sich für
einen beliebigen Punkt P
auf der Ellipse diese Koordinaten bilden, also: xa = x
und yb = y.
Damit ergibt sich:
Diese Darstellung wird als Mittelpunktsform
der Ellipse bezeichnet.
8.4
Die Funktionsgleichung der Ellipse
Umstellen der Mittelpunktsform zur
Variablen y liefert die
Funktionsgleichung der Ellipse
Da in einem kartesischen Koordinatensysten nur reelle
Komponenten vorhanden sind, muß noch die Wurzel berücksichtigt
werden, um die vollständige
Funktionsgleichung der Ellipsse zu erhalten:
mit 0 ≤ a ≤ x und b ≤ a
Für a = b folgt:
Die Ellipsengleichung geht für a = b in die
Kreisgleichung über:
