DIE GESTALT DER ERDE

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8 - Mittelpunktsform der Ellipse




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8.0

Die reduzierte Breite

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Die einfachste Art und Weise eine Ellipse in einem kartesischen Koordinatensystem darzustellen, geschieht in der sogenannten Mittelpunktsform.
Ausgangspunkt der Betrachtung sind die beiden Kreise, die durch die große und die kleine Halbachse gebildet werden und zwischen denen die Ellipse liegt.

 Ellipse und Winkel
Abbildung 8.1 - Ellipse und Winkel


Der Punkt P verfügt über die Koordinaten: P = (xa ; yb)   mit   Strecke MP


Mit Hilfe der Abbildung 8.1 lassen sich jetzt folgende Streckenverhältnisse für den Mittelpunktswinkel β angeben. Der Winkel β wird auch reduzierte Breite genannt.

tan β = ya/xa =  yb/xb

cos β = xa/a  =  xb
===>
xa = a cos β
sin β = ya/a =  yb/b
===>
yb= b sin b



8.1

Der Mittelpunktabstand

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Für den Mittelpunktsabstand R des Punktes P läßt sich folgende Beziehung ableiten:

R² = xa² + yb²
= a²⋅cos²β + b²⋅sin²β

     = a² - a²⋅sin²β + b²⋅sin²β

     = a²⋅[1 - (a²-b²)/a²⋅sin²β]


und mit ε² =(a²-b²)/a² ergibt sich: R² = a²⋅(1-ε²⋅sin²β)

Insgesamt gilt für den Mittelpunktsabstand R des Punktes P:

Mittelpunktsabstand



8.2

Die geozentrische Breite

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In der Abbildung 8.1 lässt sich vom Mittelpunktswinkel β noch ein weiterer Mittelpunktswinkel unterscheiden, namlich der Winkel ψ.

Der Winkel ψ wird auch geozentrische Breite genannt.

Dies ist der Winkel, den R mit der x-Achse bildet, also ∠AMP = ψ

Für den Winkel ψ gelten die folgenden Beziehungen:

tan ψ = yb/xa = (b⋅sinβ)/(a⋅cosβ) = b/a⋅tanβ

mit fo= b/a ergibt sich:

Winkel



8.3

Die Mittelpunktsform

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Aus der Trigonometrie stammt die Gleichung: cos²β + sin²β = 1

Aus der Ableitung für die reduzierte Breite: xa = a⋅cosβ und yb = b⋅sinβ

Einsetzen der Breiten-Beziehungen in die trigonometrische Gleichung:

Mittelpunktsform der Ellipse

In einem kartesischen Koordinatensystem lassen sich für einen beliebigen Punkt P auf der Ellipse diese Koordinaten bilden, also: xa = x und yb = y.

Damit ergibt sich:
Mittelpunktsform der Ellipse

Diese Darstellung wird als Mittelpunktsform der Ellipse bezeichnet.



8.4

Die Funktionsgleichung der Ellipse

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Umstellen der Mittelpunktsform zur Variablen y liefert die Funktionsgleichung der Ellipse

Umstellen der Mittelpunktsform

Da in einem kartesischen Koordinatensysten nur reelle Komponenten vorhanden sind, muß noch die Wurzel berücksichtigt werden, um die vollständige Funktionsgleichung der Ellipsse zu erhalten:

vollständige Funktionsgleichung der Ellipse
mit 0 ≤ a ≤ x und b ≤ a

Für a = b folgt:

Die Ellipsengleichung geht für a = b in die Kreisgleichung über:

Kreisgleichung



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