Bei der
Berechnung des Umfanges einer Ellipse tritt ein
sogenanntes elliptisches
Integralauf, für
das es keine geschlossene mathematische Lösung gibt. Ein
Ausweg erhält man durch Reihenentwicklung des Integrals.
Der Faktor γ zur Umfangsberechnung stammt
daher.
Mit diesem Umfangsfaktor läßt sich der
Ellipsenumfang UE darstellen wie eine
Kreisberechnung, wenn a
dabei die große Halbachse der Ellipse ist. Die Erde als Rotatiosellipsoid
betreffend, gilt diese Gleichung für alle Meridianumfänge:
7.1
Der Umfangsfaktor
Die genaue Gleichung für den Umfangsfaktor γ als Reihe sieht dann
folgendermaßen aus:
7.2
Die klassische Näherung für den Umfangsfaktor
Um nicht
immer mit der ganzen Reihe zu operieren, gibt es Näherungen
für den Umfangsfaktor. In der Regel wird dafür diese Näherung
angegeben:
Durch Umstellung der Formel nach gf
und unter Berücksichtigung der
Parameter der Ellipse ergibt sich dann für den
Umfangsfaktor:
7.3
Ableitung einer eigenen Näherung für den Umfangsfaktor
Durch das
Studium der Ellipsengeometrie initiiert, entdeckte ich
selber eine Näherungslösung. Beim Experimentieren mit
dem Umfangsfaktor stieß ich auf folgenden Zusammenhang
zwischen Umfangsfaktor und dem Numerus der Abplattung:
Umstellen der Gleichung nach γn ergibt:
Der gesamte Ellipsenumfang als Näherung lautet dann:
7.4
Die Genauigkeit der beiden Näherungen
Bei Näherungslösungen
ist immer die Frage nach der Genauigkeit angebracht. Da
der Umfangsfaktor durch die oben angegebene Reihe exakt
ermittelt werden kann, braucht man die Näherungen nur
noch mit diesem zu vergleichen.
Nimmt man den Numerus der Abplattung (der hier gebräuchlichen geodätischen
Systeme) als Variable und trägt die Werte für die
Umfangsfaktoren in eine Tabelle ein, so ergibt sich
folgendes Bild:
n
γ
γn
γf
297
0,99831720772870
0,99831720686
0,998317208056
298
0,99832285230823
0,99832285144
0,998322852631
298,24
0,99832420137721
0,99832420051
0,998324201699
298,247
0,99832424069248
0,99832423983
0,998324241014
298,25
0,99832425754132
0,99832425668
0,998324257863
298,255
0,99832428562197
0,99832428476
0,998324285944
298,3
0,99832453830541
0,99832453744
0,998324538627
299
0,99832845914720
0,99832845829
0,998328459466
299,15
0,99832929694130
0,99832929608
0,998329297259
Wie zu sehen ist, liefert die klassische Näherung für den
Umfangsfaktor eine Dezimalstelle mehr, als die von mir
gefundene Lösung. Eine etwas bessere Vergleichmöglichkeit
ergibt sich, wenn die Erdumfänge für die einzelnen geodätischen
Systeme betrachtet werden. D.h. es wird jeweils die
Differenz zwischen Umfang und Näherung gebildet.
Bezeichnung
Umfang - Differenz (m) Piontzik`sche Näherung
Umfang - Differenz (m) klassische Näherung
Bessel
0,046858124
-0,000014745
Hayford / IRE
0,047890112
-0,000015162
Krassowski
0,047265761
-0,000014901
WGS
0,047293521
-0,000014924
IUGG
0,047290251
-0,000014909
Fischer
0,047267176
-0,000014909
SAO / GRIM2
0,047287010
-0,000014924
Enz.Brit.
0,047419511
-0,000014968
Hier ist zu erkennen, das die klassische Näherung etwa 2/1000 mm
grösser als der Umfang ist. Die von mir gefundene Lösung
ist etwa 5 cm kleiner als der Umfang. Was aber für die
meisten Fälle hinreichend sein sollte.
Zu bemerken wäre noch, das die
Piontzik`sche Näherungslösung um so ungenauer
wird, je weiter die Ellipse sich von der Kreisgestalt
entfernt. Heißt also, die Näherung ist für geodätische
Ellipsen noch am besten geeignet.
7.5
Die Piontzik`sche Näherung für den Ellipsenumfang
Wie schon
im Abschnitt Parameter der Ellipse erläutert, existieren
mehrere gleichwertige Parameter um eine Ellipse zu
beschreiben. Einsetzen der verschiedenen Definitionen in
die Näherungslösung führt dann auch zu mehreren
Varianten der Umfangsnäherung.
Die Versionen, die den Formfaktor
bzw. den Numerus der Abplattung enthalten, lassen sich in der
Praxis noch am günstigsten handhaben. Dem weiter
interessierten Leser sei empfohlen, sich die
verschiedenen Versionen zur Übung einmal selbst
abzuleiten. An dieser Stelle wird daher lediglich eine
Variante der Piontzik`schen Näherungslösung für den
Ellipsenumfang angegeben:
