Die Schmiegekreise der Ellipse

DIE GESTALT DER ERDE

10 - Die Schmiegekreise

10.0

Die Schmiegekreis-Konstruktion

10.1

Schnittpunkt der Diagonalen AB mit der Schmiegekreisgeraden

10.2

Der Schnittpunkt mit der Ellipse

10.3

Geozentrische und georaphische Breite des Schnittpunktes

10.4

Ein ausgezeichneter Breitengrad

10.5

Ein weiterer ausgezeichneter Breitengrad

Die Schmiegekreise spielen bei der Ellipse eine besondere Rolle. Einerseits kann mit ihnen die Ellipse relativ schnell konstruiert werden. Andererseits werden die Radien der Schmiegekreise, speziell der kleinere Radius, benutzt, um die Ellipse in ihren Eigenschaften zu beschreiben, z.B. für die Ellipse als Kegelschnitt.

Hier die Konstruktion der Schmiegekreise:

Abbildung 10.1 - Konstruktion der Schmiegekreise

Man konstruiert zuerst das Rechteck MACB - aus der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b.

Eine Diagonale dieses Rechtecks wird eingezeichnet, und zwar die von Punkt A nach Punkt B (blau).

Auf dieser Diagonalen wird die Senkrechte (blau) errichtet, und zwar so, das diese durch den Punkt C geht. Diese Linie wird hier als Schmiegekreisgerade bezeichnet.

Dann sind die Schnittpunkte (M₁ und M₂) der Schmiegekreisgeraden mit den Ellipsenachsen, die gesuchten Mittelpunkte der Schmiegekreise.

Bei dieser Konstruktion fällt auf der Schmiegekreisgeraden noch ein weiterer Schnittpunkt an. Nämlich der Schnittpunkt der Gerade mit der Diagonalen. Dieser Punkt wird hier mit S_G bezeichnet.

Schmiegekreisgerade und Diagonale stehen ausserdem senkrecht aufeinander. Das ist in der folgenden Abbildung noch einmal vergrössert zu sehen:

Abbildung 10.2 - Schnittpunkt zwischen Schmiegekreisgerade und Diagonale

Die Koordinaten des Schnittpunktes S_Glassen sich rein analytisch, also mathematisch, ermitteln. Die Ableitung für den Schnittpunkt geschieht folgendermassen:

Die Funktionsgleichung für die Schmiegekreisgerade:

Die Funktionsgleichung für die Diagonale:

Für den Schnittpunkt S_G gilt dann: y_S = y_D

Durch Einsetzen der Geradengleichungen und Auflösen nach x erhält man die x-Komponente für den Schnittpunkt.

Durch Einsetzen des gefundenen x in eine der Geradengleichungen erhält man dann die y-Komponente.

Auffallend ist, das die y-Koordinate, also die Parallele zur x-Achse, die Ellipse im Punkt G schneidet. Siehe Abbildung 10.2 Auch hier lassen sich die gesamten Koordinaten des Schnittpunktes Grein analytisch ermitteln.

Für die Funktionsgleichung einer Ellipse gilt

Für die y-Koordinate gilt: y = y_G= y_S

Einsetzen von y_G in die Gleichung und Auflösung nach x liefert dann x_G:

Aus der x und y Komponente lassen sich die geozentrischen Daten des Punktes G bestimmen.

Die geozentrische Breite ist definiert durch:

Einsetzen von y_G und x_G in die Gleichung liefert die geozentrische Breite ψ_G des Punktes G

Durch Umrechnung lassen sich dann schließlich die geographischen Daten des Punktes G ermitteln.

Der Zusammenhang zwischen geozentrischer Breite ψ und geographischer Breite φ ist definiert durch folgende Gleichung (siehe auch 9.1):

Einsetzen von tangens φ_G in die Gleichung liefert die geographische Breite ψ_G des Punktes G

Der Formfaktor f_o schließlich, kann ja auch noch durch n, den Numerus der Abplattung dargestellt werden:

Einsetzen von f_o bzw. von n in die Gleichungen liefert dann die folgende Tabelle :

Numerus der Abplattung

geozentrische Breite

geographische Breite

n

φ

ψ

296

29° 48‘ 15,92"

29° 58‘ 19,06"

297

29° 48‘ 18,29"

29° 58‘ 19,40"

298

29° 48‘ 20,64"

29° 58‘ 19,73"

299

29° 48‘ 22,98"

29° 58‘ 20,07"

300

29° 48‘ 25,30"

29° 58‘ 20,40"

Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen ersichtlich:

für 296 ≤ n ≤ 300 gilt: 29° 58‘ 19,06" ≤ φ ≤ 29° 58‘ 20,40"

Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen ersichtlich: Also gilt für die Winkeldifferenz: Δφ = 1,34"

Der Winkeldifferenz Δφ = 1,34" entsprechen etwa 41 Meter in Länge.

Bezüglich der Ellipse nimmt der Punkt G eine ausgezeichnete Position ein. Er ist ein direkter Punkt auf der Ellipse, der in einem eindeutigen Bezug zur Schmiegekreiskonstruktion steht.

Bezüglich eines Rotationsellipsoiden würde aus dem Punkt G ein kompletter Breitenkreis entstehen.
Dieser Breitenkreis liegt, vom Äquator aus gesehen, auf Höhe des Schnittpunktes S_G

Man kann ein beliebiges geodätisches System benutzen, da alle Werte in einen Bereich von 41 Meter Breite fallen.

Ausgehend von einem Rotationsmodell für die Erde, hätten wir hier sogar zwei ausgezeichnete Breitengrade vor uns mit:

φ₁ = +29° 58‘ 19-20,5" N
φ₂ = -29° 58‘ 19-20,5" S

Genau genommen existieren zwei Schnittpnkte. Der zweite Punkt G2 entsteht dadurch, das die x-Koordinate, also die Parallele zur y-Achse, die Ellipse schneidet.

Abbildung 10.3 - Zweiter Schnittpunkt

Für die x-Koordinate gilt: x = x_G2 = x_S

Einsetzen von x_S in die Ellipsen-Gleichung und Auflösung nach y liefert dann y_G2

Einsetzen von y_G2 und x_G2 in die Gleichung liefert die geozentrische Breite φ_G2 des Punktes G2

Umrechnung liefert die geographische Breite φ_G2 des Punktes G2

Ausgehend von einem Rotationsmodell für die Erde, hätten wir hier wiederum zwei ausgezeichnete Breitengrade vor uns:

φ₃ = +59° 58‘ 19-20,5" N
φ₄ = -59° 58‘ 19-20,5" S

Bezüglich der Ellipse nehmen die Punkte G und G2 ausgezeichnete Positionen ein. Sie sind die einzigen direkten Punkte auf der Ellipse, die in einem eindeutigen Bezug zur Schmiegekreis- Konstruktion stehen. (ausser dem Schnittpunkt der Schmiegekreisgeraden mit der Ellipse selber)

Ausgehend von einem Rotationsmodell für die Erde, hätten wir insgesamt also vier komplette ausgezeichnete Breitengrade vor uns.

Bildet man die Mittelwerte zwischen der grossen und der kleinen Achse einer Ellipse, so stehen diese Mittelwerte in Beziehung zur Schmiegekreis-Konstruktion bzw. den Punkten G und G2. Dieser Zusammenhang wird das Thema der nächsten Kapitel sein.

DIE GESTALT DER ERDE

10 - Die Schmiegekreise

Die Schmiegekreis-Konstruktion

Schnittpunkt Diagonale AB mit der Schmiegekreisgeraden

Der Schnittpunkt mit der Ellipse

Geozentrische und geographische Breite des Schnittpunktes

Ein ausgezeichneter Breitengrad

Ein weiterer ausgezeichneter Breitengrad