DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

 
Die Quadratur des Kreises 3
 
Die Konstruktion
 
 
5.1.0   Die Quadratur des Kreises 3
5.1.1   Die Entwicklung aus der Quadratur 1
5.1.2   Ein flächengleiches Rechteck
5.1.3   Eine weitere Flächengleichheit
5.1.4   Das flächengleiche Quadrat
5.1.5   Weitere Beziehungen
     
     
     
     
     
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5.1.0 Die Quadratur des Kreises 3  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Bis jetzt haben wir nur Konstruktionen betrachtet,die zueinander umfangsgleiche Quadrate und Kreise enthalten.
Unter der Qudratur des Kreises kann man aber auch die Umwandlung eines Kreises in ein flächengleiches Quadrat verstehen.
 
Kreis und Quadrat besitzen gleichen Flächeninhalt:

AKreis = AQuadrat 2*pi*R = 4*a

 
Es ergibt sich folgendes Verhältnis für den Radius/Durchmesser zur Quardatseite:
 
 

 

 

5.1.1 Die Entwicklung aus der Quadratur 1  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
   
Die flächengleiche Quadratur des Kreises kann man aus der Kreisquadratur 1 ableiten.
   
Voraussetzung :
Für die Kreisfläche gilt dann:
   
Die Quadratur des Kreises 1 kann im Wesentlichen so dargestellt werden:
   
Das Quadrat ist umfangsgleich zum Kreis, also gilt:

Die Strecke Q1Q5 entspricht dabei dem halben Kreisumfang

 

 

5.1.2 Ein flächengleiches Rechteck  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Für die Kreisfläche gilt insgesamt dann:

Das schraffierte Rechteck entspricht also der Kreisfläche

 

 

5.1.3 Eine weitere Flächengleichheit  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 

 

 

5.1.4 Das flächengleiche Quadrat  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Bis hierhin ist es also gelungen, ein dem Kreis entsprechendes, flächengleiches Rechteck aus der Kreisquadratur 1 abzuleiten.

AKreis = AQuadrat

AQuadrat= g2 = d*a

Dieses Rechteck wird nun in ein flächengleiches Quadrat transformiert. Dies kann nach verschiedenen Methoden geschehen. Hier bietet sich der Höhensatz des Euklid an.
 
Hier braucht nicht mit den ganzen Strecken a und d gearbeitet zu werden. Man kommt mit den halben Seiten aus.

Die Strecke AC' wird halbiert. Es ensteht der Halbierungspunkt T. Um T wird ein Kreis gezogen und zwar mit derStrecke TC' als Radius.
Der Kreis schneidet die senkrechte Koordinatenachse im Punkt P.
Dann ist die Strecke MP die halbe Seite des gesuchten Quadrates (blau).

Abbildung 14 - Die Quadratur 3  

 

Somit steht eine Technik zur Verfügung, die es gestattet einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat, auf geometrischem Wege, zu transformieren.

 

 

5.1.5 Weitere Beziehungen  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Zwischen flächengleichem Quadrat, dem Kreis und dem umfanggleichen Quadrat existiert noch ein interessanter Zusammenhang:

Die Seite aus dem flächengleichen Quadrat ist geometrisches Mittel zwischen dem Kreisdurchmesser und der Seite des umfanggleichen Quadrats.
Damit lässt sich die gesamte Beziehung so darstellen:

 

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