DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

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Quadratur und Fünfeck 1

Die Piontzik - Konstruktion

6.1.0   Die Quadratur als Grundkonstruktion
6.1.1   Schritt 1: Das Grundquadrat aus dem Quadraturdreieck
6.1.2   Schritt 2: Die Konstruktion der 1:2 Geraden
6.1.3   Schritt 3: Die Ermittlung des Fünfeck-Mittelpunktes
6.1.4   Schritt 4: Die Konstruktion des Fünfecks
6.1.5   Die minimierte Quadratur mit Fünfeck
     
     
     
     
     
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6.1.0

Die Quadratur als Grundkonstruktion

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Grundkonstruktion   Auf dieser Seite möchte ich einen Zusammenhang zwischen Quadratur des Kreises und dem Fünfeck zeigen. Ausgangspunkt ist dabei eine reduzierte Version der Gesamtkonstruktion AB
siehe
Erweiterungen 1
     
Grundkonstruktion 5 Eeckpunkte   In dieser Konstruktion sind schon drei Punkte des Fünfecks annähernd enthalten.
Es sind die rot markierten Punkte.
Nun müssen noch die restlichen Punkte des Fünfecks ermittelt werden.

 

 

6.1.1

Schritt 1: Das Grundquadrat aus dem Quadraturdreieck 1

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Konstruktion Schritt 1   Der erste Schritt besteht darin aus dem Quadraturdreieck 1 (magenta), dh. aus der rechten Seite des Dreiecks, ein Quadrat zu erzeugen. Ich werde dieses Quadrat in Zukunft als Grundquadrat bezeichnen.
     
Konstruktion Schritt 1 Phase 2   In das Grundquadrat werden noch die Mittelsenkrechten der Quadratseiten eingezeichnet. So entstehen vier kleine Quadrate.

 

 

6.1.2

Schritt 2: Die Konstruktion der 1:2 Geraden

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Konstruktion Schritt 2   Der zweite Schritt besteht darin in bzw. durch die vier kleinen Quadrate des Grundquadrates eine Gerade (orange) zu erzeugen, die eine Steigung von 1:2 (bzgl. des Grundquadrates) aufweist.
     
Konstruktion Schritt 1 Phase 2   Im linken Endpunkt der erzeugten Geraden wird dann noch die Senkrechte errichtet.

 

 

6.1.3

Schritt 3: Die Ermittlung des Fünfeck-Mittelpunktes

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Konstruktion Schritt 3   Im dritten Schritt wird der Mittelpunkt des Fünfecks erzeugt.
Dazu wird der Mittelpunkt der Gesamtkonstruktion mit einer Ecke eines der Quadraturdreicke 2 verbunden.
Der Schnittpunkt mit der erzeugten 1:2 Senkrechten ergibt den gesuchten Mittelpunkt.
     
Konstruktion Schritt 3 Punkte   Hier ist der Mittelpunkt des Fünfecks (zyan) noch einmal mit den bereits vorhandenen Fünfeckpunkten (rot) eingezeichnet.
Jetzt ist deutlich zu erkennen, das die 1:2 Senkrechte durch den Mittelpunkt und durch einen Fünfeckpunkt verläuft. Also ist sie eine Spiegelachse des Fünfecks

 

 

6.1.4

Schritt 4: Die Konstruktion des Fünfecks

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Konstruktion Schritt 4   Da Mittelpunkt und drei Fünfeckpunkte bekannt sind, lässt sich der Umkreis des Fünfecks erzeugen.
Durch Spiegelung werden die restlichen Punkte des Fünfecks ermittelt
     
Endkonstruktion   Verbinden aller Punkte erzeugt schließlich das Fünfeck

 

Da die Gesamtkonstruktion symmetrisch ist, lässt sich noch ein zweites Fünfeck erzeugen, und zwar auf der rechten Seite der Gesamtkonstruktion.

 

 

6.1.5

Die minimierte Quadratur mit Fünfeck

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minimierte Konstruktion

 

 

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