KRITERIEN ZUR GEOMETRIEBESTIMMUNG IN LANDSCHAFTEN

© Klaus Piontzik


Erzeugte Gitter

Abbildung Strecken in einem Gitter darstellbar durch ganzzahlige Verhältnisse der Gitterseiten   In einem gegebenen Gitter kann man beliebig liegende Strecken als Teilungsverhältnisse der Gitterseiten ausdrücken.

Besonders einfache Gestalt erhält man, wenn ganzzahlige Proportionen benutzt werden. Das sieht dann so aus wie in der nebenstehenden Abbildung

 
Für die Teilungsverhältnisse der einzelnen Strecken ergeben sich so folgende Zusammenhänge:
 
Farbe Seiten-Verhältnis
gelb 3:1
blau 2:1
magenta 3:2
grün 1:1
grau 2:3
rot 1:3
allgemein Phi:Lambda
allgemein y:x
 
 
Genau genommen gibt das Teilungsverhältnis ja den Tangens des Winkels an, den die Strecke mit der Lambda-Achse bildet. Für die rote Strecke gilt demnach:

tan Winkel = 1:3 => Winkel = 18,4349°

Der Sachverhalt ist hier identisch mit Funktionen, die in einem xy-System dargestellt werden. Das Teilungsverhältnis steht demnach auch gleichzeitig für das Steigungsverhältnis y:x der Strecke.

 
Abbildung Quadrat erzeugt aus dem Grundgitter   Abbildung Erzeugtes Gitter
Nimmt man nun diese Strecke als Grundseite und konstruiert daraus ein Quadrat, so ergibt sich das obere Bild   Aus dem Quadrat kann man jetzt auch ein komplettes Gitter erzeugen.
 
Mit dem Steigungsverhältnis y:x und der Schreibweise für erzeugte Gitter, läßt sich das rote Gitter im Lambda-Phi #-System z.B. so darstellen:
#G = Lambda-Phi #(Phi:Lambda) = Lambda-Phi #(1:3)
 
 
  Wird in einem Grundgitter ein weiteres Gitter erzeugt, so gibt es stets zwei Möglichkeiten dieses neue Gitter anzulegen.

In der nebenstehenden Abbildung ist das blaue Gitter das Grundgitter und das rote Gitter ist das zugehörige Diagonalgitter.

Das dunkelgrüne Gitter ist dann ein 1:2-Gitter und das hellgrüne Gitter ist das zweite Gitter.

Der rot-markierte Punkt dient als Ausgangspunkt der Erzeugung für die grünen Gitter.

     
     
Sind, ausser den Winkelwerten im Lambda-Phi #-System, die Abmaße x, y des Grundgitters bekannt, so lässt sich, anhand des Satzes von Pythagoras, auch die Länge der erzeugten Strecke s² = x²+y² bestimmen.

Da die Gitterseiten s aber auch andere Längen besitzen können als die durch die Konstruktion vorgegebene, müssen für eine allgemeine Definition noch diese Gitterlängen berücksichtigt werden.

 
 
8.1 - Schreibweise erzeugte Gitter
 
Lambda-Phi # erzeugt #G mit Steigungsverhältnis y:x = tan a und Gitterlänge s
#G = Lambda-Phi #(y:x, s) = Lambda-Phi #(tan a , s)
 
Ist die Gitterlänge s² = x²+y² heißt also durch das Steigungsverhältnis und das Grundgitter eindeutig festgelegt, so kann die Gitterlänge weggelassen werden.
 
Lambda-Phi # erzeugt #G mit Steigungsverhältnis y:x und Gitterlänge = x²+y²
#G = Lambda-Phi #(y:x)
 
 
Ist das zugrundeligende Gitter selbst ein erzeugtes Gitter z.B. im Lambda-Phi #-System, so ergibt sich folgende Schreibweise für das Diagonalgitter:
 
8.2 - Schreibweise Diagonalgitter eines erzeugten Gitters
 
#D = Lambda-Phi #(G(d)) = Lambda-Phi #(G)(d) = Lambda-Phi #(y:x)(d)
 
 
Die hier eingeführte Schreibweise reicht aus, um alle anfallenden Gitter beschreiben zu können.

 

 

Summen von Winkeln

Winkel werden häufig durch die Seitenverhältnisse eines zugrunde liegenden Dreiecks angegeben. In der Regel entspricht dieses Verhältnis dem Tangens des Winkels.

Sollen nun zwei Winkel addiert werden, so kann dies über die Additionstheoreme der Trigonometrie geschehen. Die entsprechende Gleichung lautet:

 
 
Da der Tangens in der Regel als Bruchdarstellung vorliegt, ist hier eine Vereinfachung möglich.
 
Es sei und
 
Einsetzen der Brüche in die obige Gleichung, Bildung des Hauptnenners und anschließende Kürzung, ergibt dann folgende Formel:
 
 
 
Für den Fall das a = c = 1 gilt dann für das Tangensverhältnis:
 
Es sei und
 
Damit ergibt sich folgende Vereinfachung:

 

 

Gitter und Winkel

Wenn Gittersysteme vorliegen, wird zu einem erzeugten Gitter oft das zugehörige Diagonalgitter gesucht. Dabei wird zum Grundwinkel des erzeugten Gitters 45 Grad hinzugefügt. Der Tangens für 45 Grad ist aber gleich eins.
 
und tan b = 1
 
Einsetzen der Brüche in die Summengleichung, Bildung des Hauptnenners und anschließende Kürzung, ergibt dann folgende Formel:
 
 
 
Für den Fall das a = 1 gilt dann für das Tangensverhältnis:
 
Es sei und tan b = 1
   
Damit ergibt sich folgende Vereinfachung:

 

Seitenverhältnis des erzeugten Gitters Seitenverhältnis des Diagonalgitters
   
1:2 3:1
1:3 2:1
1:4 5:3
1:5 3:2
1:6 7:5
1:7 4:3
1:8 9:7
1:9 5:4
1:10 11:9

 

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