KRITERIEN ZUR GEOMETRIEBESTIMMUNG IN LANDSCHAFTEN

© Klaus Piontzik


Gitter

Mit Hilfe der Abstandsteilungen kann noch eine weitere wichtige Anwendung abgeleitet werden, nämlich die so genannten Gitter. Liegt z.B. eine Abstands-Teilung in waagerechter Richtung vor, und existiert dazu auch in senkrechter Richtung eine andere Abstandsteilung, so läßt sich, mit den beiden gegebenen Abständen als Grundseiten, ein rechteckiges Gitter erzeugen.
 
Abbildung Gitterbildung durch Kombination zweier Abstandsteilungen
 
 
Die beiden Abstands-Teilungen brauchen nicht unbedingt senkrecht aueinander zu stehen, sondern können sich auch unter einem bestimmten Winkel schneiden. Ebenso brauchen die beiden Teilungen nicht unbedingt in senkrechter oder horizontaler Richtung zu verlaufen. Sie können auch in einem beliebigen Winkel zum (kartesischen) Bezugssystem liegen.

Aufgrund dieser Umstände müssen einige Begriffserklärungen bezüglich der konstruierbaren Gitter getätigt werden. In Anlehnung an die Geometrie, lassen sich daher folgenende Definitionen aufstellen:

 
 
K7 Ein affines rechteckiges Gitter liegt vor, wenn zwei regelmäßige Abstands-Teilungen existieren, die nicht parallel zu einander verlaufen
 
Abbildung allgemeines affines Gitter
 
Dieses ist die allgemeinste Form eines affinen Gitters. Alle anderen Gittertypen lassen sich als affine Gitter mit bestimmten Eigenschaften beschreiben.
 
 
7.1 - Definition Ein affines Gitter heißt quadratisch, wenn die beiden Abstands-Teilungen gleiche Abstände besitzen
 
Abbildung Quadratisches Gitter

 

7.2 - Definition Ein affines Gitter heißt orthogonal,
wenn die beiden Abstands-Teilungen senkrecht auf einander stehen
 
Abbildung Orthogonales Gitter

 

7.3 - Definition Ein affines Gitter heißt kartesisch, wenn es orthogonal ist, und die beiden Abstandsteilungen in horizontaler und in vertikaler Richtung verlaufen
 
Abbildung Kartesisches Gitter
 
 
Mit diesen Definitionen lassen sich quasi alle Gitter, die möglich sind, klassifizieren. Die meisten, ebenfalls die in dieser Studie gefundenen, Gitter kann man als affine, quadratische, orthogonale Gitter bezeichnen.

Kartesische Gitter sind, nach Definition, auch immer orthogonale Gitter. Die Längen- und Breitenkreise, die zur Angabe der geographischen Koordinaten dienen, werden hier als kartesisches Gitter benutzt. Die Breitenkreise bilden dabei die horizontale Ausrichtung und die Längenkreise stehen für die vertikale Ausrichtung.

Zu jedem Gitter existiert aber auch ein entsprechendes Diagonalgitter. Einerseits kann man dies geometrisch begründen, andererseits gibt es historische bzw. geomantische Gründe.
In vielen Kirchen, hauptsächlich den gotischen, bilden die Pfeiler der einzelnen Schiffe fast stets ein quadratisches Gitter, während die eingefügten Kreuzgewölbe das Diagonalgitter präsentieren. So läßt sich das nächste Kriterium aufstellen:

 
 
7.4 - SATZ Jedes Gitter läßt sich durch ein entsprechendes Diagonalgitter erweitern oder auch ersetzen
 
Abbildung eines Gitters mit Diagonalgitter
 
 
In der Zeichnung ist zu erkennen, das das Diagonalgitter nicht orthogonal verläuft, obwohl das zugrunde liegende Gitter diese Qualität besitzt, ja sogar kartesisch ist. Um orthogonale Diagonalgitter zu erhalten bedarf es nämlich folgender Eigenschaft:
 
 
7.5 - SATZ Ein Diagonalgitter ist dann orthogonal, wenn das zugrunde liegende Gittersystem quadratisch ist
 
Und nur eine ganz bestimmte Gruppe von Gittern erzeugt Diagonalgitter, die nicht nur orthogonal, sondern auch quadratisch sind:
 
7.6 - SATZ Nur quadratische, orthogonale Gitter erzeugen ebenfalls quadratische, orthogonale Diagonalgitter
 

 

Schreibweisen für Gitter

Auf der Grundlage der bisherigen Betrachtungen, läßt sich jetzt eine Schreibweise für Gittersysteme einführen. Die durch Objekte (Punkte) gebildeten Systeme, die als Bezugssysteme dienen, kann man z.B. als Grundsysteme benutzen. Ebenso das geographische Koordinatensystem.
 
 
7.7 - Definition Gitter die als Bezugssysteme benutzt werden heißen Grundgitter
 
7.8 - Schreibweise Gitter G <=> #G
 
 
Die Eigenschaften der Gitter lassen sich dann mit kleinen Buchstaben darstellen, die einfach hinten die bisherige Bezeichnung geschrieben werden:
 
 
7.9 - Schreibweise Eigenschaften der Grundgitter
 
a) Gitter G ist quadratisch <=> #Gq
b) Gitter G ist orthogonal <=> #Go
c) Gitter G ist kartesisch <=> #Gk
 
 
Treten mehrere Eigenschaften auf, so werden auch diese einfach hinter einander gesetzt. Im Grunde kommen ja lediglich die Kombinationen qo und kq in Frage.

In dieser Untersuchung wird als kartesisches Grundsystem das geographische System benutzt, mit der geographischen Länge Lambda und der geographischen Breite Phi. Dieses System erhält jetzt einen Eigennamen. Hauptsächlich aus Vereinfachungs-und Übersichtsgründen.

 
 
7.10 - Schreibweise kartesisches geographisches Grundsystem
 
Gitter ist kartesisches geographisches Grundsystem <=> Lambda-Phi #
wird gelesen: Lambda-Phi-Gitter
 
 
Dadurch braucht man bei den geographischen Systemen nur noch zwischen rechteckigen und quadratischen Systemen zu unterschieden. Laut obiger Definition der Eigenschaften von Gittern, ist es dann auch hinreichend, lediglich die quadratischen Systeme zu kennzeichnen, und zwar mit: Lambda-Phi #q

Außer den Grundgittern existieren auch noch Systeme, die sich aus dem Grundgitter heraus erzeugen lassen.Wie das Diagonalsystem. Solche Gittersysteme heißen dann erzeugte Systeme.

 
 
7.11 - Definition Gitter die aus einem Grundgitter ableitbar sind, heißen erzeugte Gitter
 
7.12 - Schreibweise Lambda-Phi # erzeugt Gitter G <=> Lambda-Phi #(G)
 
 
Mit einem quadratischen Lambda-Phi -Gitter als Grundgitter ( Lambda-Phi #q ), lassen sich quasi alle anderen Gitter als erzeugte Gittersysteme darstellen.

 

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