DIE GESTALT DER ERDE

12 - Mittelwerte der Ellipse

12.0 Mittelwerte  
12.1 Mittelwerte der Ellipsenachsen  
12.2 Mittelwerte der Ellipse  
12.3 Numerische Auswertung  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
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12.0 Mittelwerte zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Es existieren verschiedene Mittelwerte, und zwar sind es das geometrische Mittel, das arithmetrische Mittel, das harmonische Mittel und das quadratische Mittel.

Für zwei Grössen a und b (z.B. die grosse und die kleine Achse einer Ellipse), aus denen der Mittelwert gebildet werden soll, gelten dann folgende Beziehungen:

 
Das arithmetische Mittel
 
Das geometrische Mittel
 
Das harmonische Mittel
 
Das quadratische Mittel
 
 
Für die Mittelwerte gilt allgemein folgender Zusammenhang:
 

 

 

12.1 Mittelwerte der Ellipsenachsen zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite

 

Das geometrische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse
   
Das arithmetrische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse
   
Das harmonische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse
   
Das quadratische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse

 

 

12.2 Die Mittelwerte der Ellipse zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Wie im letzten Kapitel (siehe 11) gezeigt, kann man für alle Mittelwerte auch Punkte bzw. Gleichungen ableiten, in denen die geozentrische Breite nur noch vom Formfaktor bzw. dem Numerus der Abplattung abhängig ist.
 
Für alle bisher betrachteten Fälle gilt: y = Mittelwert/2
 
 
arithmetisch geometrisch harmonisch
     
     
     
 
 
Alle Mittelwerte liegen aber auch innerhalb eines gewissen Intervalles. Die Grenzen des Intervalles werden durch die zugrunde liegenden Grössen a und b gebildet.

Für die untere Grenze gilt: x=y = b/2
Für die obere Grenze gilt: x=y = a/2

 
   
untere Grenze obere Grenze
   
   
   
   
 
Zeichnet man die Mittelwerte (Tabelle der Werte weiter unten) und die beiden Grenzen in die Ellipsen bzw. Schmiegekreis-Konstruktion ein, so ergibt sich Abbildung 12.1.
Die Mittelwerte liegen dabei derart eng zusammen, das eigentlich nur das harmonische Mittel (rot) zu erkennen ist.
 
 
 
Abbildung 12.1 - Ellipse und Mittelwerte

 

 

12.3 Numerische Auswertung zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Lässt man (wie beim harmonischen Mittel) n, also den Numerus der Abplattung, in 0,25er Schritten einen bestimmten Bereich durchlaufen, erhält man eine Tabelle von Breitenwinkeln. Der Bereich ist wieder so gewählt, das alle geodätischen Systeme darin enthalten sind.
 
 
Zusammenfassung der Mittelwerte bzgl. der geozentrischen Breite y
 
   

untere Grenze

harmonisches Mittel

geometrisches Mittel

arithmetisches Mittel

obere Grenze

 

n

b/2

h/2

g/2

m/2

a/2

  296 29 54 58² 29 58 19,22² 29 58 19,39² 29 58 19,56² 30 1 41,75²
  296,25 29 54 58,26² 29 58 19,31² 29 58 19,48² 29 58 19,65² 30 1 41,66²
  296,5 29 54 58,81² 29 58 19,39² 29 58 19,56² 29 58 19,73² 30 1 41,58²
  296,75 29 54 58,77² 29 58 19,48² 29 58 19,65² 29 58 19,82² 30 1 41,49²
IRE 297 29 54 59,02² 29 58 19,56² 29 58 19,73² 29 58 19,9² 30 1 41,4²
  297,25 29 54 59,28² 29 58 19,65² 29 58 19,81² 29 58 19,98² 30 1 41,32²
  297,5 29 54 59,53² 29 58 19,73² 29 58 19,9² 29 58 20,07² 30 1 41,23²
  297,75 29 54 59,78² 29 58 19,81² 29 58 19,98² 29 58 20,15² 30 1 41,15²
Enz. Brit. 298 29 55 0,03² 29 58 19,9² 29 58 20,07² 29 58 20,24² 30 1 41,06²
WGS 298,24 29 55 0,27² 29 58 19,98² 29 58 20,15² 29 58 20,32² 30 1 40,98²
IUGG 298,25 29 55 0,28² 29 58 19,98² 29 58 20,15² 29 58 20,32² 30 1 40,97²
GRIM2 298,255 29 55 0,29² 29 58 19,98² 29 58 20,15² 29 58 20,32² 30 1 40,97²
  298,5 29 55 0,54² 29 58 20,07² 29 58 20,23² 29 58 20,4² 30 1 40,89²
  298,75 29 55 0,79² 29 58 20,15² 29 58 20,32² 29 58 20,49² 30 1 40,8²
Bessel 299 29 55 1,04² 29 58 20,23² 29 58 20,4² 29 58 20,57² 30 1 40,72²
  299,25 29 55 1,29² 29 58 20,32² 29 58 20,48² 29 58 20,65² 30 1 40,63²
  299,5 29 55 1,54² 29 58 20,4² 29 58 20,57² 29 58 20,73² 30 1 40,55²
  299,75 29 55 1,79² 29 58 20,48² 29 58 20,65² 29 58 20,82² 30 1 40,46²
  300 29 55 2,03² 29 58 20,57² 29 58 20,73² 29 58 20,9² 30 1 40,38²
 
 
Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen, für die geozentrische Breite aller halben Mittelwerte, ersichtlich:
 
für 296 n 300 29 58 19,22² y 29 58 20,9²
 
Daher gilt für die geozentrische Winkeldifferenz: D y = 1,68²
 
 
Durch Umrechnung lassen sich die geographischen Minimal-Maximal-Grenzen ermitteln:
 
für 300 > n > 296 30 08 17,99² j 30 08 24,4²
 
Also beläuft sich die geographische Winkeldifferenz auf: D j = 6,41². Das entspricht einer Strecke von etwa 206,6 Meter.
 
D.h. die Hälften aller Mittelwerte für alle geodätischen Systeme (die bisher benutzt wurden), und damit auch für die tatsächlichen Abmaße der Erde, liegen in einem schmalen Streifen von etwa maximal 207 m.
 
Die Werte für die obere und untere Grenze liegen bei etwa 4 Bogenminuten, jeweils zu beiden Seiten hin, vom harmonischen Mittel entfernt. Dies entspricht einer Strecke von 7,7 km.
Das gesamte Intervall zwischen oberer und unterer Grenze beträgt also 15,4 km.

 

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