DIE GESTALT DER ERDE

11 - Das harmonische Mittel

11.0 Das harmonische Mittel  
11.1 Das harmonische Mittel und die Ellipse  
11.2 Ableitung des Schnittpunktes  
11.3 Numerische Auswertung  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
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11.0 Das harmonische Mittel zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Es existieren verschiedene Mittelwerte, und zwar sind es das geometrische Mittel, das arithmetrische Mittel, das harmonische Mittel und das quadratische Mittel. An dieser Stelle betrachten wir zuerst nur das harmonische Mittel.

Für zwei Grössen a und b (z.B. die grosse und die kleine Achse einer Ellipse), aus denen der harmonische Mittelwert gebildet werden soll, gilt dann folgende Beziehung:

 
Das harmonische Mittel allgemein:
 
Das harmonische Mittel für die (Halb)Achsen einer Ellipse

 

 

11.1 Das harmonische Mittel und die Ellipse zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
 
Das harmonische Mittel nimmt eine besondere Stellung bezüglich der Ellipse ein. Es existiert nämlich ein Zusammenhang mit der Schmiegekreis-Konstruktion.

In Abbildung 11.1 sind die x und die y - Komponente des Punktes S das halbe harmonische Mittel zwischen den beiden Halbachsen a und b. Es gilt: xS = yS = yP = h/2=hm

Der Punkt S ist gleichzeitig auch der Schnittpunkt der (Ellipsen)Diagonalen AB' mit der Quadratdiagonalen MC'

 
 
 
Abbildung 11.1 - Ellipse und harmonisches Mittel

 

 

11.2 Ableitung des Schnittpunktes zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Des Punkt S liegt wie der Punkt SG auf der Diagonalen AB'. Wie in Kapitel10 schon mit dem Punkt SG geschehen, kann der Punkt S auch hier auf die Ellipse übertragen werden. Und so entsteht der Punkt P, als Schnittpunkt der y-Koordinate (des Punktes S) mit der Ellipse.
 
Die Koordinaten des Schnittpunktes P lassen sich rein analytisch, also mathematisch, ermitteln. Die Ableitung für den Schnittpunkt geschieht folgendermassen:
 
Das harmonische Mittel für die beiden Halbachsen der Ellipse :
 
 
Für die Funktionsgleichung einer Ellipse gilt :
 
 
Aufgrund der geometrischen Konstruktion (Abb. 11.1) gilt für die y-Koordinate: y = yP = h/2
Ersetzen von y durch h in der Funktionsgleichung und anschliessende Auflösung nach x liefert dann xP:
 
 
Für die geozentrische Breite Psi des Punktes P gilt: tan y = y/x = h/(2x)
Einsetzen der entsprechenden Terme in die Gleichung und anschliessende Kürzung liefert:
 
 
Der Formfaktor fo schließlich, kann ja auch noch durch n, den Numerus der Abplattung dargestellt werden:
 
Ersetzen von fo durch n und Umstellung liefert dann den geozentrischen Winkel:
 

 

 

11.3 Numerische Auswertung zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Lässt man n, also den Numerus der Abplattung, in 0,25er Schritten einen bestimmten Bereich durchlaufen, erhält man eine Tabelle von Breitenwinkeln. Der Bereich ist so gewählt, das alle geodätischen Systeme darin enthalten sind.
 
 
Geodätisches System Numerus der Abplattung

geozentrische Breite

 

n

y

  296 29 58 19,22²
  296,25 29 58 19,31²
  296,5 29 58 19,39²
  296,75 29 58 19,48²
IRE 297 29 58 19,56²
  297,25 29 58 19,65²
  297,5 29 58 19,73²
  297,75 29 58 19,81²
Enz. Brit. 298 29 58 19,9²
WGS 298,24 29 58 19,98²
IUGG 298,25 29 58 19,98²
GRIM2 298,255 29 58 19,98²
  298,5 29 58 20,07²
  298,75 29 58 20,15²
Bessel 299 29 58 20,23²
  299,25 29 58 20,32²
  299,5 29 58 20,4²
  299,75 29 58 20,48²
  300 29 58 20,57²
 
 
Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen, für die geozentrische Breite, ersichtlich:
für 296 n 300 29 58 19,22² y 29 58 20,57²
 
Daher gilt für die geozentrische Winkeldifferenz: D y = 1,35²
 
 
Durch Umrechnung lassen sich die geographischen Minimal-Maximal-Grenzen ermitteln:
 
für 300 > n > 296 30 08 17,66² j 30 08 24,4²
 
Also beläuft sich die geographische Winkeldifferenz auf: D j = 6,74². Das entspricht einer Strecke von etwa 208,5 Meter

Ausgehend von einem Rotationsmodell für die Erde, hätten wir hier sogar weitere zwei ausgezeichnete Breitengrade vor uns mit:

 
j 5 = +30 08 17,6-24,5² N
j 6 = -30 08 17,6-24,5² S

 

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