DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

 
Zur Geschichte der Zahl Pi (p)
 
Altertum
 
 
1.0.0   Einleitung - Pi als Näherungswert  
1.1.0   Ägypten 1850/1650 v.Chr.
1.2.0   Babylonien 1900 - 1600 v.Chr.
1.3.0   Die Griechen 400 - 300 v.Chr.
1.3.1   Archimedes 287 - 212 v.Chr.
1.3.2   Heron von Alexandria 10-75 n.Chr.

1.3.3

  Apollonius von Perge  
1.3.4   Claudius Ptolemäus 85-165 n.Chr.
1.4.0   China 250/430-501 n.Chr.
1.5.0   Indien 500 v.Chr./500 n.Chr
       
       
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1.0.0 Einleitung - p als Näherungswert  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser, das wir heute mit der Zahl p ausdrücken, war der 17. Buchstabe des ursprünglichen und ist der 16. Buchstabe des klassischen griechischen Alphabetes.

Der griechische Buchstabe ’p’ (p) zur Bezeichnung der Verhältniszahl des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser soll sich ableiten aus dem griechischen Wort perijeria (periphereia) = Kreis(umfang), Umkreis, Umfangslinie oder auch von perimetros = Umfang.

Der griechische Buchstabe p wurde als Abkürzung für "Peripherie" von englischen Mathematikern benutzt, genannt werden hier Oughtred (1667) und Issac Barrow (1630-1677) sowie William Jones(1675-1749). Doch ihre Beispiele blieben ohne Nachahmung.
Aufgegriffen wurde der Buchstabe später von Leonhard Euler etwa ab 1738. Danach etablierte sich der griechische Buchstabe auch bei anderen Mathematikern als Symbol für die Kreiskonstante und setzte sich so dann überall durch.

Über die Eigenschaften und über die Entwicklung der Zahl p ist, im Laufe der Zeit, schon viel geschrieben, gerechnet und gerätselt worden. Hier geht es allerdings nicht um irgendwelche Mysteria dieser Zahl, sondern darum geeignete Näherungswerte zu finden, die in der geometrischen Praxis, mit genügender Genauigkeit, umsetzbar sind.

Daher erfolgt, in diesem Kapitel, lediglich eine kleine Übersicht zur geschichtlichen Entwicklung bzw. Entdeckung und Eingrenzung der Zahl p. Unter besonderer Berücksichtigung von Bruchdarstellungen für p, im Hinblick auf spätere geometrische Verwendbarkeit.
Im Laufe der geschichtlichen Betrachtung ergeben sich daraus dann auch die meisten Näherungen in Bruchform, also in einer gebrochen rationalen Darstellungsweise.

 

 

1.1.0 Ägyten  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Der wohl älteste offiziell überlieferte Wert für p stammt von den Ägyptern. Etwa um 1850 v.Chr. enstand das Moskauer Papyrus. Man fand die Näherung:
 
 
Das Papyrus Rhind , das auf etwa 1650 v.Chr. datiert wird, enthält mathematische Aufgaben in Textform, die vom Schreiber Ahmes stammen. Es gibt diesen Wert an:
 
(16/9)^2=256/81=3,16049
 
Dieses Dokument befindet sich heute im Britischen Museum in London.
 
Es könnte aber auch schon vor der Abfassung des Papyrus Rhind bessere Näherungswerte gegeben haben: POSAMENTIER (The Mathematics Teacher v. 77(1); S.52,47) führt das Buch "La Science Mystérieuse des Pharaons" von Abbé Moreux (Paris 1923) an, wo auf den Seiten 28-29 eine vermutete Näherung von 3,14159294 angegeben wird. (zitiert nach Mäder 1989, S.55)

 

 

1.2.0 Babylonien  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Etwa zur selben Zeit wie in Ägypten (1900-1600 v.Chr.) gab es auch schon in Babylonien erste Näherungen für p. Der Wert 3 wurde als solche Näherung benutzt. Keilschrifttexte, die 1936 in Susa entdeckt wurden, geben für p diesen Wert an:
 
formula

 

 

1.3.0 Die Griechen und die Quadratur des Kreises  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Die Quadratur des Kreises war eines der Lieblingsthemen der alten Griechen. Die Aufgabe war, zu einem gegebenen Kreis, nur mit Hilfe von Lineal und Zirkel, ein umfang bzw. flächengleiches Quadrat zu konstruieren. Dieses sollte in einer begrenzten Anzahl von Schritten bewältigt werden. Aus noch zu ersehenden Gründen ist dies geometrisch exakt aber unmöglich.

Antiphon (430 v.Chr.) war der Meinung, daß die Quadratur des Kreises und damit die exakte Bestimmung von p möglich sein müsse, weil sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln läßt.
Seine Idee ging davon aus, dem Kreis Vielecke mit immer größerer Seitenzahl einzuschreiben, so das diese schließlich nicht mehr vom Kreis zu unterscheiden sind und damit der Kreis völlig "erschöpft" ist. Auf Grund dieser Vorgehensweise nennt man diese Technik Exhaustions-Methode. Der lateinische Ausdruck heißt "exhaurire", was herausnehmen, erschöpfen, vollenden bedeutet.
Damit legte Antiphon den Grundstein für die erfolgreiche Arbeit vieler Mathematiker in späterer Zeit nicht zuletzt des Archimedes, der eben diese Methode anwandte.

Bryson aus Heraklea ging noch einen Schritt weiter und berechnete die Fläche von zwei Vielecken – eines das den Kreis von innen begrenzte und eines zweiten das den Kreis von außen umschloss. Die Fläche des Kreises, so folgerte Bryson, müsse zwischen den Flächen der beiden Vielecke liegen.
Damit legten Antiphon und Bryson den Grundstein für die erfolgreiche Arbeit vieler Mathematiker in späterer Zeit, nicht zuletzt des Archimedes, der eben diese Methode anwandte.

Euklid von Alexandria (325-265 v. Chr.) gelang der Beweis, daß 3 < p < 4 gilt. Doch erst Archimedes konnte rund 100 Jahre später diese Ungleichung verfeinern.

 

 

1.3.1 Archimedes  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Auf Archimedes von Syrakus (287 - 212 v.Chr.), der u.a. die Gesetze für den Auftrieb, den Hebel und den Flaschenzug fand, geht folgende Ungleichung zurück, die er durch die Konstruktion eines 96-Ecks gewann:
 
3 10/71<pi<3 1/7 bzw. 223/71<pi<22/7

 

 

1.3.2 Heron von Alexandria  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Nach Angaben des Mathematikers Heron von Alexandria (10-75 n. Chr.) soll Archimedes sogar eine noch bessere Abschätzung für p gefunden haben. Es ist aber nicht vollständig geklärt, ob dieser Ausdruck wirklich von ihm stammt. Seine Angabe lautet:
 
195882/62351<pi<211882/67441

 

 

1.3.3 Apollonius von Perge  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Auf Apollonius von Perge, einem jüngeren Kollegen von Archimedes, geht folgender Wert zurück:
 

 

 

1.3.4 Claudius Ptolemäus  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Der griechische Astronom Claudius Ptolemäus (85-165 n.Chr. in Ägypten) nützte die Vorarbeit des Archimedes und setzte dessen Methode bis zum 720-Eck fort. Damit erreichte er für p die Näherung :
 
377/120

 

 

1.4.0 China  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Von Wang Fan um 250 n.Chr. stammt die Näherung:
 
 
Der Astronom Tsu Chu'ung-Chi (430-501 n.Chr.) und sein Sohn Tsu Keng-Chi fanden diese Näherung:
 
355/113
 
Tsu Ch’ung Chi (Zu Chong Zhi)  wurde als Mathematiker und Astronom bekannt und war etwa 800 Jahre lang der Weltrekordhalter in der Präzision der Darstellung von p.

Die Wissenschaftshistoriker wissen nicht sehr viel über ihn. Insbesondere ist rätselhaft, wie Tsu seine erstaunliche Approximation der Kreiszahl p berechnet hat.

Über den Ursprung dieses einfachen Bruches gibt es nur Vermutungen, die besagen, daß Tsu einfach die bekannten Brüche von Ptolemäus und Archimedes verwendet hat. Indem er die Differenz der Zähler und Nenner bildete:

 

 

 

1.5.0 Indien  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Um 500 v.Chr. waren für p Näherungen in Gebrauch, wie zum Beispiel:
 
 
Noch öfter findet man einen Wert, der auch als Hinduwert bezeichnet wird:
 
 

Der indische Mathematiker Brahmagupta (geboren 598 n.Chr.) fand 640 n.Chr. ebenfalls diesen Wert, indem er die Summe der Seitenlängen von 12-, 24-, 48- und 96-seitigen Polygonen berechnete.

Um 499-510 n.Chr. gab Aryabhatiya (476-550) für p eine Näherung an, die auch im Paulisha Siddhanta erwähnt wird:

 

 

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