DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

 
Zur Geschichte der Zahl Pi (π)
 
Vom Mittelalter bis zur Moderne
 
 
1.6.0   Verfeinerte Näherungen 1540-1600
1.6.1   Adriaen Metius, Valentius Otho 1573
1.6.2   Ludolph von Ceulen 1540-1610
1.6.3   Jacob Marcelis 1700
1.7.0   Reihenentwicklungen 1640 - 1780
1.7.1   Pi als Symbol  
1.8.0   Lambert und die Irrtionalität von Pi 1761
1.8.1   Lindemann und Pi als transzendente Zahl 1882
1.9.0   Näherungswerte für Pi in Bruchdarstellung  
1.9.1   Die geometrisch günstigste Näherung  
       
 Home
 
 vorherige Seite zurück  ins Verzeichnis Verzeichnis  Home Home weiter nächste Seite

 

 

1.6.0 Verfeinerte Näherungen  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Im Mittelalter wurden, in Europa, die Verfahren zur Berechnung von Pi erheblich verfeinert. Tycho de Brahe (1546-1601), ein dänischer Astronom, nahm für π den Wert:

 

 

Der französische Mathematiker und Rechtsgelehrte Francois Viete (1540-1603) drang 1579, in Fortsetzung der archimedischen Methode, bis zum 393216-Eck vor. Er erhielt eine Ungleichung, die den Wert für π bis auf 9 Dezimalstellen angab.
Viete
, (lateinisch Vieta) der "Vater" der modernen Algebra, stellte erstmals eine geschlossene Formel für π vor, die sich aus einem unendlichen Produkt ableiten läßt.

 

 

Dieses Produkt fand Leonard Euler dann etwa 150 Jahre später. Die Konvergenz dieses Ausdrucks konnte aber erst F. Rudio im Jahre 1891 beweisen.

 

 

1.6.1 Adrian Metius, Valentius Otho  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Mehr als 1000 Jahre nach Tsu Ch'ung-Chi entdeckte Adriaen Metius dieselbe Näherung 355/113, als er das arithmetische Mittel von Zähler und Nenner der beiden Näherungen 377/120 und 333/106, die auf Berechnungen seines Vaters beruhten, bildete. Beachtenswert ist hier, das durch den relativ einfachen Bruch 333/106 insgesamt 4 Dezimalstellen von π anfallen:

 

 

Zu erwähnen wäre noch Valentinus Otho, durch den im Jahre 1573 die Näherung 355/113 bekannt wurde.

 

 

1.6.2 Ludolph von Ceulen  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Um einen Eindruck von der Faszination dieser Zahl in vergangenen Jahren zu vermitteln, dient der niederländische Mathematiker Ludolf von Ceulen (1539-1610). Er errechnete π auf 35 Stellen genau. Hier sein Wert, der auch heute noch gültig ist:

 

π = 3,14159265358979323846264338327950288...

 

Ludolph van Ceulen widmete einen grossen Teil seiner Arbeit und seines Lebens der Berechnung der Zahl π. 1596 errechnete er 20 richtige Stellen und kurz vor seinem Tod weitere 15. Dabei diente ihm die Archimedische Methode als Grundlage. Er benutzte ein- und umschriebene Polygone mit 262 Seiten. Die letzten drei der von ihm berechneten Ziffern wurden in seinen Grabstein eingemeisselt.
Daher wird π auch manchmal als Ludolphsche Zahl bezeichnet.

Im Übrigen auch die Version von π, die auf der Titelseite dieser Website angegeben ist.

 

 

1.6.3 Jacob Marcelis  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Um 1700 herum war Jacob Marcelis der Meinung, daß es ihm gelungen sei, den Kreis zu quadrieren, und damit den exakten Wert für π zu bestimmen. Diesen gab er wie folgt an:

 

 

 

1.7.0 Reihenentwicklungen für Pi  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), einem deutschen Philosoph und Universalgelehrten, stammt die nachfolgende Reihe für π , die er bei der Untersuchung des Konvergenzverhaltens unendlicher Reihen 1673 fand.

 

pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...

 

Die einfache, aber nur sehr langsam konvergierende Formel läßt sich mit Hilfe der Potenzreihe des Arcustangens ableiten. Leibniz fand unabhängig von Newton die Differential- und Integralrechnung

Durch die Ausarbeitung der Analysis, von dem englischen Physiker, Mathematiker und Astronom Isaac Newton (1642 - 1727) und dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783), konnten bessere Näherungswerte von π gefunden werden.
Newton verfügte 1665 über 16 Sellen von π. Dies geschah durch Reihenentwicklungen, die dann allerdings noch in mühsamer Handarbeit umgestetzt werden mussten. Leonhard Euler schaffte mittels Bleistift und Papier in einer Stunde 20 Dezimalen von π. Johann Dase (1824-1861) verwendete 2 Monate seines Lebens darauf, 200 Stellen der Zahl π zu berechnen.

 

 

1.7.1 π als Symbol  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Der griechische Buchstaben ’π’ (p) zur Bezeichnung der Verhältniszahl des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser soll sich ableiten aus dem griechischen Wort perijeria (periphereia) = Kreis(umfang), Umkreis, Umfangslinie oder auch von perimetros, dt. Umfang.

Der griechische Buchstabe π wurde als Abkürzung für "Peripherie" von englischen Mathematikern benutzt, genannt werden hier Oughtred (1667) und Issac Barrow (1630-1677). Weiterhin William Jones (1675-1749) mit seinem Werk „Synopsis palmariorum matheseos“. Doch ihre Beispiele blieben ohne Nachahmung.

Aufgegriffen wurde der Buchstabe später von Leonhard Euler in seiner Abhandlung „Variae observationes circa series infinitas“. Euler verwendet zunächst p bis 1735, ab 1738 dann π .

Danach etablierte sich der griechische Buchstabe auch bei anderen Mathematikern als Symbol für die Kreiskonstante und setzte sich so dann überall durch.

Euler fand u.a. die Beziehung eiπ + 1 = 0 , die eine Voraussetzung für Lindemanns Beweis der Transzendenz von π</font> ist.

 

 

1.8.0 Lambert und die Irrationalität von π  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Johann Heinrich Lambert (1728-1777), deutscher Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosoph, gelang es im Jahre 1761, die Irrationalität von π zu beweisen.

Irrationalität einer Zahl besagt, das sie nicht als Bruch zweier ganzen Zahlen darstellbar ist. Lambert nähert sich der Kreiszahl durch eine Folge von Brüchen.

Zuerst zeigte er, daß tan x nicht rational sein kann, wenn ist.
Daraus folgerte er, daß x nicht rational sein kann, wenn tan x rational ist
wie dies z.B. in dem Ausdruck tan
π/4 = 1 der Fall ist.
Daraus schloß Lambert, das
π/4 und damit auch π nicht rational sein können.

Mit Hilfe von Kettenbrüchen konnte er auch die besten Näherungen in Form von Brüchen berechnen. Dazu zählt beispielsweise:

 

 103993/33102

 

 

1.8.1 Lindemann und π als transzendente Zahl  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann (1852-1939) bewies dann im Jahre 1882, das π eine transzendente Zahl ist, d.h. unter anderem: π ist unendlich und unperiodisch.
Unendlichkeit und Unperiodizität langen allein allerdings nicht aus, um Transzendenz einer Zahl zu gewährleisten.

Transzendenz einer Zahl bedeutet: Nicht Lösung einer Gleichung mit GANZZAHLIGEN oder RATIONALEN Koeffizienten zu sein. Den Beweis veröffentlichte er in dem Artikel "Über die Zahl π" in den "Mathematischen Annalen" in München.

Zuerst bewies Lindemann, daß die Lösung von eiπ + 1 = 0 nicht algebraisch sein kann. Er wußte aber, daß π dieser Gleichung genügte (das hatte schon Newton bewiesen), woraus er noch weiter folgerte, daß π keine algebraische Zahl sein kann.

Die Konsequenz ist, das eine Konstruktion der Zahl π durch Lineal und Zirkel, also die geometrische Quadratur des Kreises nicht exakt möglich ist.

Zu erwähnen wäre da noch das, seit den Griechen, quasi ganze Generationen von Mathematikern vorher versucht hatten, eine Lösung der Quadratur mit Zirkel und Lineal zu erreichen. Lindemanns Beweis zeigt demzufolge auch die Aussichtslosigkeit eines solchen Unterfangens.

Was andererseits bedeutet, das vorhandene geometrische Konstruktionen, die Quadratur des Kreises betreffend, als Näherungslösungen zu betrachten sind. Und bei Näherungen, das heißt bei ihrer Anwendung und Benutzung, spielt eher die Frage der Genauigkeit eine grosse Rolle.

 

 

1.9.0 Näherungswerte für π  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Wie in der obigen historischen Betrachtung behandelt worden ist, läßt sich π durch Bruchdarstellungen annähern. Hier einige Beispiele, wie sie im Laufe der Zeit auch immer wieder von verschiedenen Autoren benutzt worden sind. Die erste abweichende Dezimalstelle ist dabei rot markiert und die Ziffernfolge wird hier abgebrochen.

 

Näherung für π   Dezimale Darstellung
     
  3,16
     
22/7   3,142
     

  3,12
     
  3,0
     
  3,15
     
223/71   3,140
     
256/81   3,16
     

333/106

  3,141 50
     
355/113   3,141 592 9
     

377/120

  3,141 6
     

3927/1250

  3,141 6
     
20612/6561   3,141 594
     
54648/17395   3,141 592 4
     

  3,141 592 5
     

  3,141 592 64
     

  3,141 592 653 0
     
195882/62351   3,141 6
     

  3,141 6
     
211882/67441   3,141 7
     

  3,141 592 654

Tabelle 1 - Näherungen für Pi in Bruchdarstellung

 

 

1.9.1 Die geometrisch günstigste Näherung  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite

 

Praktisch geometrisch gesehen, also aus Gründen der Konstruierbarkeit, sind quasi nur die Bruchdarstellungen deren Nenner kleiner als 1000 sind, verwendbar. Und hier fallen lediglich 4 Werte auf:

Tsu Chu'ung-Chi
Die Darstellung von π durch 355/113 - die ersten 6 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Adriaen Metius
Die Darstellung von π durch 333/106 - die ersten 4 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Claudius Ptolemäus
Die Darstellung von π durch 377/120 - die ersten 3 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Archimedes
Die Darstellung von π durch 22/7 - die ersten 2 Stellen hinter dem Komma sind exakt

 

Die angegebenen Näherungen lassen sich geometrisch nutzen bzw. umsetzen, so das eine Quadratur des Kreises, als annähernde Konstruktion, lediglich mit Zirkel und Lineal ausgeführt, also durchaus möglich ist.

 

Die am häufigsten verwendete Näherung ist der von Archimedes verwendete Wert 22/7

 

Dadurch reduziert sich das Thema Quadratur des Kreises auf zwei Zahlen: die 7 und die 11. Es ergeben sich hier zwei Möglichkeiten: das 14:11 und das 11:7 Verhältnis. Aus jeder Proportion resultiert eine spezifische Quadraturkonstruktion.
In den nächsten Kapiteln werden daher beide Konstruktionen gezeigt. Ferner erfolgt eine Untersuchung ihrer Genauigkeit.

Ohne die Bestimmung der Kreiszahl Pi hätte die Entwicklung vieler mathematischer Formeln und Modelle gar nicht erst zustande kommen können. Die weitverbreitete Annahme, dass sich solche Berechnungen lediglich auf den Geometriebereich beschränken, ist beispielsweise nicht korrekt. Insbesondere in der Finanzwelt ist Pi in vielen Formeln und Rechenmodellen ein zentraler Faktor, durch welchen diese überhaupt erst denkbar und möglich wurden.


 zum Anfang der Seite

 Home

 vorherige Seite zurück  ins Verzeichnis Verzeichnis  Home Home weiter nächste Seite