DIE GESTALT DER ERDE

8 - Mittelpunktsform der Ellipse

8.0 Die reduzierte Breite  
8.1 Der Mittelpunktabstand  
8.2 Die geozentrische Breite  
8.3 Die Mittelpunktsform  
8.4 Die Funktionsgleichung der Ellipse  
     
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8.0 Die reduzierte Breite zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Die einfachste Art und Weise eine Ellipse in einem kartesischen Koordinatensystem darzustellen, geschieht in der sogenannten Mittelpunktsform.
Ausgangspunkt der Betrachtung sind die beiden Kreise, die durch die große und die kleine Halbachse gebildet werden und zwischen denen die Ellipse liegt.
 
 
Abbildung 8.1 - Ellipse und Winkel

 

Der Punkt P verfügt über die Koordinaten: P = (xa ; yb)   mit 
 
Mit Hilfe der Abbildung 8.1 lassen sich jetzt folgende Streckenverhältnisse für den Mittelpunktswinkel b angeben. Der Winkel b wird auch reduzierte Breite genannt.
 
tan b = ya/xa =  yb/xb    
     
cos b = xa/a =  xb/b ===> xa= a cos b
sin b = ya/a =  yb/b ===> yb= b sin b

 

 

8.1 Der Mittelpunktabstand zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Für den Mittelpunktsabstand R des Punktes P läßt sich folgende Beziehung ableiten:
 
= xa² + yb² = a²·cos²b + b²·sin²b
    = a² - a²·sin²b + b²·sin²b
    = a²·[1 - (a²-b²)/a²·sin²b]
   
und mit e² =(a²-b²)/a² ergibt sich: R² = a²·(1-e²·sin²b)
 
Insgesamt gilt für den Mittelpunktsabstand R des Punktes P:
 

 

 

8.2 Die geozentrische Breite zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
In der Abbildung 8.1 lässt sich vom Mittelpunktswinkel b noch ein weiterer Mittelpunktswinkel unterscheiden, namlich der Winkel y.
Der Winkel y wird auch geozentrische Breite genannt.
Dies ist der Winkel, den R mit der x-Achse bildet, also Đ AMP =  y
 
Für den Winkel y gelten die folgenden Beziehungen:
 
tan y = yb/xa = (b·sin b)/(a·cos b) = b/a·tan b
 
mit fo= b/a ergibt sich:
 

 

8.3 Die Mittelpunktsform zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Aus der Trigonometrie stammt die Gleichung: cos²b + sin²b = 1
   
Aus der Ableitung für die reduzierte Breite: xa = a·cos b
yb = b·sin
b
 
Einsetzen der Breiten-Beziehungen in die trigonometrische Gleichung:
 
 
 
In einem kartesischen Koordinatensystem lassen sich für einen beliebigen Punkt P auf der Ellipse diese Koordinaten bilden, also: xa = x und yb = y.
Damit ergibt sich:
 
Diese Darstellung wird als Mittelpunktsform der Ellipse bezeichnet.

 

 

8.4 Die Funktionsgleichung der Ellipse zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Umstellen der Mittelpunktsform zur Variablen y liefert die Funktionsgleichung der Ellipse
 
 
Da in einem kartesischen Koordinatensysten nur reelle Komponenten vorhanden sind, muß noch die Wurzel berücksichtigt werden, um die vollständige Funktionsgleichung der Ellipsse zu erhalten:
 
mit 0 < a £ x und a,b,xÎÂ+ und b £ a
 
Für a = b folgt:

Die Ellipsengleichung geht für a = b in die Kreisgleichung über.
 

 

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