DIE GESTALT DER ERDE

7 - Umfang einer Ellipse

7.0 Die Umfangsgleichung  
7.1 Der Umfangsfaktor  
7.2 Die klassische Näherung für den Umfangsfaktor  
7.3 Ableitung einer eigenen Näherung für den Umfangsfaktor  
7.4 Die Genauigkeit der beiden Näherungen  
7.5 Die Piontzik´sche Näherung für den Ellipsenumfang  
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7.0 Die Umfangsgleichung zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Bei der Berechnung des Umfanges einer Ellipse tritt ein sogenanntes elliptisches Integral auf, für das es keine geschlossene mathematische Lösung gibt. Ein Ausweg erhält man durch Reihenentwicklung des Integrals. Der Faktor g (gamma) zur Umfangsberechnung stammt daher. Mit diesem Umfangsfaktor läßt sich der Ellipsenumfang UE darstellen wie eine Kreisberechnung, wenn a dabei die große Halbachse der Ellipse ist.

Die Erde als Rotatiosellipsoid betreffend, gilt diese Gleichung für alle Meridianumfänge:

 
Ue ist gleich 2 mal a mal pi mal gamma

 

 

7.1 Der Umfangsfaktor zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Die genaue Gleichung für den Umfangsfaktor g als Reihe sieht dann folgendermaßen aus:
 
Reihenentwicklung für den Umfangsfaktor gamma

 

 

7.2 Die klassische Näherung für den Umfangsfaktor zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Um nicht immer mit der ganzen Reihe zu operieren, gibt es Näherungen für den Umfangsfaktor. In der Regel wird dafür diese Näherung angegeben:
 
Näherung für den Ellipsenumfang
 
Durch Umstellung der Formel nach gf und unter Berücksichtigung der Parameter der Ellipse ergibt sich dann für den Umfangsfaktor:
 

 

 

7.3 Ableitung einer eigenen Näherung für den Umfangsfaktor zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Durch das Studium der Ellipsengeometrie initiiert, entdeckte ich selber eine Näherungslösung. Beim Experimentieren mit dem Umfangsfaktor stieß ich auf folgenden Zusammenhang zwischen Umfangsfaktor und dem Numerus der Abplattung:
 
 
Umstellen der Gleichung nach gn ergibt:
 
 
Der gesamte Ellipsenumfang als Näherung lautet dann:
 

 

 

7.4 Die Genauigkeit der beiden Näherungen zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Bei Näherungslösungen ist immer die Frage nach der Genauigkeit angebracht. Da der Umfangsfaktor durch die oben angegebene Reihe exakt ermittelt werden kann, braucht man die Näherungen nur noch mit diesem zu vergleichen.
Nimmt man den Numerus der Abplattung (der hier gebräuchlichen geodätischen Systeme) als Variable und trägt die Werte für die Umfangsfaktoren in eine Tabelle ein, so ergibt sich folgendes Bild:
 

n

g

g n

g f

297 0,99831720772870 0,99831720686 0,998317208056
298 0,99832285230823 0,99832285144 0,998322852631
298,24 0,99832420137721 0,99832420051 0,998324201699
298,247 0,99832424069248 0,99832423983 0,998324241014
298,25 0,99832425754132 0,99832425668 0,998324257863
298,255 0,99832428562197 0,99832428476 0,998324285944
298,3 0,99832453830541 0,99832453744 0,998324538627
299 0,99832845914720 0,99832845829 0,998328459466
299,15 0,99832929694130 0,99832929608 0,998329297259
 
Wie zu sehen ist, liefert die klassische Näherung für den Umfangsfaktor eine Dezimalstelle mehr, als die von mir gefundene Lösung. Eine etwas bessere Vergleichmöglichkeit ergibt sich, wenn die Erdumfänge für die einzelnen geodätischen Systeme betrachtet werden. D.h. es wird jeweils die Differenz zwischen Umfang und Näherung gebildet.
 
Bezeichnung

Umfang - Differenz (m)
Piontzik`sche Näherung

Umfang - Differenz (m)
klassische Näherung

Bessel

0,046858124

-0,000014745

Hayford / IRE

0,047890112

-0,000015162

Krassowski

0,047265761

-0,000014901

WGS

0,047293521

-0,000014924

IUGG

0,047290251

-0,000014909

Fischer

0,047267176

-0,000014909

SAO / GRIM2

0,047287010

-0,000014924

Enz.Brit.

0,047419511

-0,000014968

 
Hier ist zu erkennen, das die klassische Näherung etwa 2/1000 mm grösser als der Umfang ist. Die von mir gefundene Lösung ist etwa 5 cm kleiner als der Umfang. Was aber für die meisten Fälle hinreichend sein sollte.

Zu bemerken wäre noch, das die Piontzik´sche Näherungslösung um so ungenauer wird, je weiter die Ellipse sich von der Kreisgestalt entfernt. Heißt also, die Näherung ist für geodätische Ellipsen noch am besten geeignet.

 

 

7.5 Die Piontzik´sche Näherung für den Ellipsenumfang zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Wie schon im Abschnitt Parameter der Ellipse erläutert, existieren mehrere gleichwertige Parameter um eine Ellipse zu beschreiben. Einsetzen der verschiedenen Definitionen in die Näherungslösung führt dann auch zu mehreren Varianten der Umfangsnäherung. Die Versionen, die den Formfaktor bzw. den Numerus der Abplattung enthalten, lassen sich in der Praxis noch am günstigsten handhaben. Dem weiter interessierten Leser sei empfohlen, sich die verschiedenen Versionen zur Übung einmal selbst abzuleiten. An dieser Stelle werden daher lediglich zwei Varianten der Piontzik´schen Näherungslösung für den Ellipsenumfang angegeben:
 

Die Piontzik´sche Näherung für den Ellipsenumfang
Piontzik´sche Näherungslösung für den Ellipsenumfang

 

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