Historische ganzrationale Näherungen für die Kreiszahl Pi (π)

Der griechische Buchstaben ’π’ (p) zur Bezeichnung der Verhältniszahl des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser soll sich ableiten aus dem griechischen Wort perijeria (periphereia) = Kreis(umfang), Umkreis, Umfangslinie oder auch von perimetros, in deutsch Umfang.

Über die Eigenschaften und über die Entwicklung der Zahl π ist, im Laufe der Zeit, schon viel geschrieben, gerechnet und gerätselt worden. Hier geht es allerdings nicht um irgendwelche Mysteria dieser Zahl, sondern darum geeignete Näherungswerte zu finden, die in der geometrischen Praxis, mit genügender Genauigkeit, umsetzbar sind.

Daher erfolgt, in diesem Kapitel, lediglich eine kleine Übersicht zur geschichtlichen Entwicklung bzw. Entdeckung und Eingrenzung der Zahl π. Unter besonderer Berücksichtigung von Bruchdarstellungen für π, im Hinblick auf spätere geometrische Verwendbarkeit.
Im Laufe der geschichtlichen Betrachtung ergeben sich daraus dann auch die meisten Näherungswerte in Bruchform, also in einer gebrochen rationalen Darstellungsweise.

Antiphon (430 v.Chr.) war der Meinung, daß die Quadratur des Kreises und damit die exakte Bestimmung von p möglich sein müsse, weil sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln läßt.
Seine Idee ging davon aus, dem Kreis Vielecke mit immer größerer Seitenzahl einzuschreiben, so das diese schließlich nicht mehr vom Kreis zu unterscheiden sind und damit der Kreis völlig "erschöpft" ist. Auf Grund dieser Vorgehensweise nennt man diese Technik Exhaustions-Methode . Der lateinische Ausdruck heißt "exhaurire", was herausnehmen, erschöpfen, vollenden bedeutet.
Damit legte Antiphon den Grundstein für die erfolgreiche Arbeit vieler Mathematiker in späterer Zeit nicht zuletzt des Archimedes, der eben diese Methode anwandte.

Bryson aus Herakleia ging noch einen Schritt weiter und berechnete die Fläche von zwei Vielecken – eines das den Kreis von innen begrenzte und eines zweiten das den Kreis von außen umschloss. Die Fläche des Kreises, so folgerte Bryson, müsse zwischen den Flächen der beiden Vielecke liegen.
Damit legten Antiphon und Bryson den Grundstein für die erfolgreiche Arbeit vieler Mathematiker in späterer Zeit, nicht zuletzt des Archimedes, der eben diese Methode anwandte.

Euklid von Alexandria (325-265 v. Chr.) gelang der Beweis, daß 3 < π < 4 gilt. Doch erst Archimedes konnte rund 100 Jahre später diese Ungleichung verfeinern.

Die Wissenschaftshistoriker wissen nicht sehr viel über ihn. Insbesondere ist rätselhaft, wie Tsu seine erstaunliche Approximation der Kreiszahl π berechnet hat.

Über den Ursprung dieses einfachen Bruches gibt es nur Vermutungen, die besagen, daß Tsu einfach die bekannten Brüche von Ptolemäus und Archimedes verwendet hat. Indem er die Differenz der Zähler und Nenner bildete:

Der indische Mathematiker Brahmagupta (geboren 598 n.Chr.) fand 640 n.Chr. ebenfalls diesen Wert, indem er die Summe der Seitenlängen von 12-, 24-, 48- und 96-seitigen Polygonen berechnete.

Um 499-510 n.Chr. gab Aryabhatiya (476-550) für π eine Näherung an, die auch im Paulisha Siddhanta erwähnt wird:

Durch die Ausarbeitung der Analysis, von dem englischen Physiker, Mathematiker und Astronom Isaac Newton (1642 - 1727) und dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783), konnten bessere Näherungswerte von π gefunden werden.
Newton verfügte 1665 über 16 Sellen von π. Dies geschah durch Reihenentwicklungen, die dann allerdings noch in mühsamer Handarbeit umgestetzt werden mussten. Leonhard Euler schaffte mittels Bleistift und Papier in einer Stunde 20 Dezimalen von π. Zacharias Dase (1824-1861) verwendete 2 Monate seines Lebens darauf, 200 Stellen der Zahl p zu berechnen.

Der griechische Buchstabe π wurde als Abkürzung für "Peripherie" von englischen Mathematikern benutzt, genannt werden hier William Oughtred (1667) und Issac Barrow (1630-1677). Weiterhin William Jones (1675-1749) mit seinem Werk „Synopsis palmariorum matheseos“. Doch ihre Beispiele blieben ohne Nachahmung.

Aufgegriffen wurde der Buchstabe später von Leonhard Euler in seiner Abhandlung „Variae observationes circa series infinitas“. Euler verwendet zunächst p bis 1735, ab 1738 dann π.

Danach etablierte sich der griechische Buchstabe auch bei anderen Mathematikern als Symbol für die Kreiskonstante und setzte sich so dann überall durch.

Euler fand u.a. die Beziehung e^iπ + 1 = 0 , die eine Voraussetzung für Lindemanns Beweis der Transzendenz von π ist.

Irrationalität einer Zahl besagt, das sie nicht als Bruch zweier ganzen Zahlen darstellbar ist. Lambert nähert sich der Kreiszahl durch eine Folge von Brüchen.

Zuerst zeigte er, daß tan x nicht rational sein kann, wenn ist.
Daraus folgerte er, daß x nicht rational sein kann, wenn tan x rational ist
wie dies z.B. in dem Ausdruck tan π/4 = 1 der Fall ist.
Daraus schloß Lambert, das π/4 und damit auch π nicht rational sein können.

Mit Hilfe von Kettenbrüchen konnte er auch die besten Näherungen in Form von Brüchen berechnen. Dazu zählt beispielsweise:

Transzendenz einer Zahl bedeutet: Lösung einer Gleichung mit GANZZAHLIGEN oder RATIONALEN Koeffizienten und dabei keine algebraische Zahl zu sein. Den Beweis veröffentlichte er in dem Artikel "Über die Zahl π" in den "Mathematischen Annalen" in München.

Zuerst bewies Lindemann, daß die Lösung von e^iπ + 1 = 0 nicht algebraisch sein kann. Er wußte aber, daß π dieser Gleichung genügte (das hatte schon Newton bewiesen), woraus er noch weiter folgerte, daß π keine algebraische Zahl sein kann.

Die Konsequenz ist, das eine Konstruktion der Zahl π durch Lineal und Zirkel, also die geometrische Quadratur des Kreises nicht exakt möglich ist. Unter der Quadratur des Kreises versteht man entweder die Umformung des Kreisumfangs in ein umfanggleiches Quadrat oder die Umwandlung der Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat.

Zu erwähnen wäre da noch das, seit den Griechen, quasi ganze Generationen von Mathematikern vorher versucht hatten, eine Lösung der Quadratur mit Zirkel und Lineal zu erreichen. Lindemanns Beweis zeigt demzufolge auch die Aussichtslosigkeit eines solchen Unterfangens.

Was andererseits bedeutet, das vorhandene geometrische Konstruktionen, die Quadratur des Kreises betreffend, als Näherungslösungen zu betrachten sind. Und bei Näherungen, das heißt bei ihrer Anwendung und Benutzung, spielt eher die Frage der Genauigkeit eine grosse Rolle.

Adriaen Metius

Die Darstellung von π durch 333/106 - die ersten 4 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Claudius Ptolemäus

Die Darstellung von π durch 377/120 - die ersten 3 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Archimedes

Die Darstellung von π durch 22/7 - die ersten 2 Stellen hinter dem Komma sind exakt

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