DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

 
Die Quadratur des Kreises 2
 
Die Konstruktion
 
 
3.1.0   Die Quadratur des Kreises 2
3.1.1   Definition der Strecken der Quadratur-Konstruktion 2
3.1.2   Die Quadratur-Bedingung
3.1.3   Das Verhältnis für die Seiten
3.1.4   Das Verhältnis für die Winkel
3.1.5   Die Näherung für Pi
3.1.6   Die Näherung für die Seiten
3.1.7   Die Näherung für die Winkel
3.1.8   Das zweite Quadratur-Dreieck
     
     
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3.1.0 Die Quadratur des Kreises 2  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
     
  Es existiert, wie weiter oben schon erwähnt, eine weitere Quadratur-Konstruktion, die Umfangsgleichheit liefert, und mit einem Dreieck ABC (siehe dazu Abbildung 3) realisiert wird, das nicht nur ein anderes Höhen / Seiten - Verhältnis besitzt, sondern auch in der Gesamt-Konstruktion abweicht.

Die Höhe des Dreiecks ist hier gleich einer Quadratseite. Die Grundseite des Dreiecks ist gleich dem Durchmesser des Kreises.

Dieses Dreieck ABC wird hier in der Folge als Quadratur-Dreieck 2 bezeichnet.

Abbildung 3 - Die Quadratur des Kreises 2    

 

 

3.1.1 Definition der Strecken der Quadratur-Konstruktion 2  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Es müssen auch hier erst einmal einige Definitionen bezüglich der vorkommenden Strecken, anhand Abbildung 3, getätigt werden.
 
   
   
   
 
   

 

 

3.1.2 Die Quadratur-Bedingung  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
   
Kreis und Quadrat besitzen gleichen Umfang :

UKreis = UQuadrat 2*pi*R = 4*a

 

 

3.1.3 Das Verhältnis für die Seiten  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 

 

 

3.1.4 Das Verhältnis für die Winkel  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 

 

 

3.1.5 Die Näherung für Pi  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Die bisherigen Betrachtungen sind, wie bei der Kostruktion 1 mathematisch exakt. In der praktischen Konstruktion aber, wie in Abbildung 3 dargestellt, ist dies durch Zirkel und Lineal ebenfalls nicht lös- bar. Für die geometrische Konstruktion müssen die einzelnen Längen erst durch eine Rechnung ermittelt werden.

Auch hier läßt sich dieser Umstand vereinfachen, wenn für p eine Näherung benutzt wird. Wie im vorherigen Fall, also der Quadratur 1, besteht die einfachste Annäherung an p mit Hilfe eines Teiles der archimedischen Ungleichung:

 

 

 

3.1.6 Die Näherung für die Seiten  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Für die Gesamtkonstruktion bzw. das Quadratur-Dreieck ergibt sich dann folgendes Verhältnis:
 
 
Für das Höhen/Seitenverhältnis der Schnitt-Dreiecke gilt
 
h:s = 11:7

 

 

3.1.7 Die Näherungen für die Winkel  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Für die Winkel gilt mit dieser Näherung:
 

 

 

3.1.8 Das zweite Quadratur-Dreieck  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
     
  Nimmt man also ein rechtwinkliges Dreieck, (in Abbildung 3 bzw. 4 entsprechend den Schnitt- Dreiecken MBC bzw. MAC) mit dem Höhen/Seiten - Verhältnis 11:7, so läßt sich daraus auch die komplette Quadratur aus Abbildung 3 ableiten.
Aus Abbildung 4 wird erkenntlich, wie mittels eines Schnitt-Dreieckes und dessen Entwicklung,
durch Spiegelung, das Quadratur-Dreieck 2 erzeugt wird. Der nächste Schritt wäre die weitere Entfaltung in die Gesamtkonstruktion 2.
Abbildung 4 - Das Quadratur-Dreieck 2    
     
Somit steht eine zweite Technik zur Verfügung, die es gestattet einen Kreis in ein umfanggleiches Quadrat, auf geometrischen Wege, zu transformieren.

 

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