DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

 
Die Quadratur des Kreises 1
 
Genauigkeitsbetrachtung 2
 
 
2.3.0   Die Schnittseiten des Quadratur-Dreiecks 1
2.3.1   Die Näherung für die Schnittseiten
2.3.2   Die Differenz zwischen genauem und angenäherten Wert
2.3.3   Bilanz für die Konstruktion 1
     
     
     
     
     
     
     
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2.3.0 Die Schnittseiten des Quadratur-Dreiecks 1  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Eine weitere Fehlerabschätzung für die Quadratur-Konstruktion läßt sich gewinnen, wenn die Schnitt- Seiten des Quadratur-Dreiecks in Betracht gezogen werden.

In Abbildung 1 entsprechen die Schnitt-Seiten ja den Strecken BC = AC = l. Gleichzeitig sind diese Strecken aber auch die Hypothenusen der rechtwinkligen Schnitt-Dreiecke MAC und MBC. Da Höhe und Seite bekannt sind, kann die Länge der Hypothenuse über den Satz des Pythagoras ermittelt werden.

 
l = wurzel(h*h + s*s)
 
Die Höhe h ist ja gleich dem Radius r und die Seite s ist gleich der Hälfte der Quadratseite a. Diese Bezüge, in die obige Gleichung eingesetzt, ergeben dann:
 
l = wurzel (R*R + (a/2)*(a/2))
 
Durch Einsetzen der Beziehung a = p r/2 und Ausklammerung ergibt sich:
 
l = R*wurzel (1 +  (pi/4)*(pi/4)) = R/4*wurzel (16+pi*pi)

 

 

2.3.1 Die Näherung für die Schnittseiten  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Dieses Ergebnis läßt sich sowohl für die genaue als auch für die Näherungslösung benutzen. So das insgesamt also gilt:
 
l = R/4*wurzel(16+pi*pi) = R/14*wurzel 317

 

 

2.3.2 Die Differenz zwischen genauen und angenähertem Wert  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Wie bei der Betrachtung zur Genauigkeit der Quadratseiten lassen sich die Differenzen zwischen genauem Wert und Näherungswert zur Bestimmung der Ungenauigkeit benutzen.

Wiederum von einem Einheitskreis ausgehend, lassen sich die Differenzen bei verschiedenen Grössen - verhältnissen darstellen. Wie gehabt, braucht man ja nur den Einheitsradius in 10er Schritten zu vergrößern. Die hier gewählte Größe für den Radius des Grundkreises beträgt ebenfalls 10 cm

 
Kreisradius Differenz = Näherung - wahrer Wert
  für die Schnitt-Seiten
   
10 cm 0,019528 mm
1 m 0,19528 mm
10 m 1,9528 mm
100 m 1,9528 cm
1 km 19,528 cm
10 km 1,9528 m
100 km 19,528 m

Tabelle 4

Aus der Tabelle 4 im Vergleich zu Tabelle 2 ist ersichtlich, das die vorkommenden Fehlergrößen nur 1/3 des Quadratseiten-Fehlers ausmachen. Damit gelten alle Genauigkeitsbetrachtungen, die für die Quadratseite gemacht worden sind, auch in diesem Fall.

Rechnet man die, in Tabelle 4, angegebenen Differenzen prozentual auf die wahren Schnittlängen des Quadratur-Dreicks um, so erhält man

 
einen Fehler von 0,02 %, für alle auftretenden Fälle.

 

 

2.3.3 Bilanz für die Konstruktion 1  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Somit bietet die Quadratur-Konstruktion 1, ausgehend von der 14:11 Proportion als Näherungslösung, eine Technik, die eine praktische Handhabung der Kreisquadratur gestattet.
In der
praktizierten Geometrie, genau genommen in den kleineren Bereichen von Blattgrößen etwa. Sowie die Anwendung in der Architektur oder der Landschaftsgestaltung, als strukturierendes Element. Und das mit hinreichender Genauigkeit, wie zu sehen war.

 

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