DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

 
Die Quadratur des Kreises 1
 
Genauigkeitsbetrachtung 1
 
 
2.2.0   Die Genauigkeit der Winkel des Quadratur-Dreiecks
2.2.1   Die Näherungslösung für die Kreis-Quadratur
2.2.2   Die Verhältnisse für das Quadrat
2.2.3   Die Differenz zwischen genauem und angenähertem Wert
2.2.4   Die Genauigkeit der Quadratseiten
2.2.5   Das Seiten/Höhen-Verhältnis
2.2.6   Die Differenz zwischen genauem und angenähertem Wert
     
     
     
     
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2.2.0 Die Genauigkeit der Winkel des Quadratur-Dreiecks  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Bei einer Näherungslösung ist immer die Frage nach der Genauigkeit angebracht. Dazu kann man im Fall der Quadratur die Winkel und auch die Höhen/Seitenverhältnisse des Quadratur-Dreiecks benutzen. Beginnen wir mit den Winkeln.

Die Differenz zwischen genauem Wert und dem Näherungswert besitzt bei alpha und beta den gleichen Betrag nämlich: 0 0 40,33" . Rechnet man dies prozentual auf die genauen Winkel um, so ergibt sich für alpha eine Ungenauigkeit von 0,0216 % und für beta eine Ungenauigkeit von 0,0294 %.

Winkelmäßig gesehen ist die Ungenauigkeit also stets kleiner als eine Winkelminute, und prozentual gesehen bedeutet dies eine Ungenauigkeit, die 0,03% nicht überschreitet. Was sich als hinreichend genau, für die meisten vorkommenden Verhältnisse, bezeichnen läßt.

Beim Zeichnen in der Größenordnung DINA3 oder DINA4 beträgt die Zeichengenauigkeit maximal 0,1 Grad, was 6 Winkelminuten entspricht. Damit hat die Quadratur-Ungenauigkeit keinen Einfluß auf die Zeichengenauigkeit, und ist in diesem Größenbereich daher unerheblich.

 

 

2.2.1 Die Näherungslösung für die Kreis-Quadratur  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Die Quadratur-Konstruktion ist ja dazu gedacht, einen vorgegebenen Kreis in ein umfanggleiches Quadrat zu verwandeln. Da der Radius bekannt ist, entsteht für die Quadratseite daraus eine eindeutige Beziehung. Dies gilt auch, wenn für p die Näherungslösung eingesetzt wird und die entsprechende Gleichung lautet dann:
 
a = pi*R/2  ~ 11/7*R

 

 

2.2.2 Die Verhältnisse für das Quadrat  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Zur weiteren Untersuchung kann man zuerst von einem Einheitskreis (r=1) ausgehen und dann die zugehörigen Quadrate betrachten. Also die genaue Quadratseite und die durch die Näherung ermittelte Seite. Die Differenz zwischen genauem Wert und Näherungswert läßt sich zur Ungenauigkeits - Bestimmung benutzen.
Für das Seiten/Radiusverhältnis des Quadratur-Dreiecks gilt
 
a:r = p:2
 
Für die Näherung des Seiten/Radiusverhältnis gilt:
 
a:r = 11:7

 

 

2.2.3 Die Differenz zwischen genauem und angenähertem Wert  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Die Differenz zwischem genauen Wert und Näherungswert des Seiten/Radius - Verhältnisses erhält man:
 
D a = (p/2 - 11/7)h
 
Um einen Überblick der Abweichungen bei verschiedenen Größenverhältnissen zu erhalten, braucht man jetzt nämlich nur den Einheitsradius in 10er Schritten zu vergrößern. Aus Übersichtsgründen wurde die minimale Größe für den Radius des Grundkreises mit 10 cm angesetzt.
 
Kreisradius Differenz = wahrer Wert - Näherung
  für die Seiten der Quadrate
   
10 cm 0,063224 mm
1 m 0,63224 mm
10 m 6,3224 mm
100 m 6,3224 cm
1km 63,224 cm
10 km 6,3224 m
100 km 63,224 m

Tabelle 2

Bei der Berechnung der Differenz ergibt sich eigentlich ein negatives Ergebnis, heißt also der Näherungswert ist etwas zu groß geraten.

 

 

2.2.4 Die Genauigkeit der Quadratseiten  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Aus der Tabelle 2 wird ersichtlich das im Größenbereich von ein paar 10 cm, also DINA4 oder auch DINA3 Format, die Ungenauigkeit maximal 0,2 mm beträgt. Damit liegt sie in der Größenordnung der Zeichenungenauigkeit und kann daher vernachlässigt werden. Die Quadratur-Konstruktion könnte in dieser Größenordnung also als gute Näherung genutzt werden.

Im Meter wie im 10 Meter-Bereich beträgt die Ungenauigkeit maximal 1-2 cm. Bei architektonischen Objekten, wie Häusern oder Parks, können Wände und Ränder von Beeten oder Wegen, sowohl die Näherungslösung als auch den wahren Wert enthalten.

Desgleichen gilt für den 100 bis 200 Meter-Bereich. Hier liegt die Ungenauigkeit bei etwa 10 cm. Und kann daher auch in Mauern oder Beeträndern oder Wegen beide Quadratur-Lösungen enthalten.

Im 1 bis 2 Kilometer-Bereich beträgt der Fehler etwa einen Meter. Auch hier läßt sich die Quadratur- Konstruktion noch, durch Wege, Straßen, Beete oder Gebäude markiert, ohne Einschränkung benutzen.

Im 10 bis 20 km-Bereich liegt die Ungenauigkeit bei etwa 10 m. Selbst hier noch lassen sich Wege, Straße, Beete oder auch Gebäude noch so gebrauchen, das eine Quadratur ermöglicht wird.

Rechnet man die, in Tabelle 1 angegebenen, Differenzen prozentual auf die wahren Seitenlängen der Quadrate um, so erhält man einen Fehler von 0,07 %, für alle auftretenden Fälle.

Genau genommen bezieht der Fehler sich ja auf die gesamte Quadratseite. Da in der Quadratur - Konstruktion aber alle vorkommenden Elemente entlang einer Symmetrie-Achse angeordnet sind, werden die Quadratseiten halbiert. Damit verteilt sich auch der Fehlabstand zu beiden Seiten der Symmetrie-Achse, d.h. der Fehler wird ebenfalls halbiert.

 
Der mittlere Fehler für die Quadratseiten kann daher mit 0,035 % angesetzt werden.

 

 

2.2.5 Das Seiten/Höhen-Verhältnis  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Nimmt man also ein Schnitt-Dreieck und betrachtet darin die Höhe h und die Grundseite s, indem die Verhältnisse dieser Größen zueinander gebildet werden, so ergibt sich:
 
Für das Seiten/Höhenverhältnis des Schnitt-Dreiecks gilt
 
s:h = p:4
 
Für die Näherung des Seiten/Höhenverhältnis gilt dann
 
s:h = 11:14

 

 

2.2.6 Die Differenz zwischen genauem und angenähertem Wert  Home  ins Verzeichnis  zum Anfang der Seite
 
Die Differenz zwischen genauem Wert und Näherungswert läßt sich zur Ungenauigkeitsbestimmung benutzen.
 
D s = (p/4 - 11/14)h
 
Um einen Überblick der Abweichungen bei verschiedenen Größenverhältnissen zu erhalten, braucht man ja nur, wie oben schon geschehen, den Einheitsradius in 10er Schritten zu vergrößern. Aus Übersichtsgründen wurde auch hier die minimale Größe für den Radius des Grundkreises mit 10 cm angesetzt.
 
Höhe/Radius Differenz = wahrer Wert - Näherung
  für die Grundseite des Schnitt-Dreiecks
   
10 cm 0,0316122 mm
1 m 0,316122 mm
10 m 3,16122 mm
100 m 3,16122 cm
1km 31,6122 cm
10 km 3,16122 m
100 km 31,6122 m

Tabelle 3

Bei der Berechnung der Differenz ergibt sich eigentlich ein negatives Ergebnis, heißt also der Näherungswert ist etwas zu groß geraten.

Rechnet man die, in Tabelle 3 angegebenen, Differenzen prozentual auf die wahre Höhe des Schnitt- Dreicks (bzw. dem Radius des Kreises) um, so erhält man einen Fehler von 0,04 %, für alle auftretenden Fälle.

Aus der Tabelle 3 im Vergleich zu Tabelle 2 ist ersichtlich, das die vorkommenden Fehlergrößen nur die Hälfte des Quadratseiten-Fehlers ausmachen. Damit gelten alle Genauigkeitsbetrachtungen, die für die Quadratseite gemacht worden sind, auch in diesem Fall.

 

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