EINFACHES WACHSTUM UND GRENZWERTE

Die allgemeine Gleichung für die Umkreise von Vielkreis-Systemen lautet:

Man kann erstmal k=1 setzen ohne die folgenden Betrachtungen einzuschränken.

Setzt man m=n und lässt n dann gegen unendlich gehen, d.h. man lässt die Vielkreis-Systeme unendlich wachsen und erhöht gleichzeitig die Anzahl der Kreise auf unendlich. Dennoch strebt die Gleichung einem endlichen Grenzwert entgegen.

Zu untersuchen ist folgender Term:

Für große n wird der Winkel sehr klein und man kann die Winkelfunktion direkt durch die Argumente ersetzen:

Dann ergibt sich insgesamt:

Damit gilt allgemein:

Nimmt man jetzt noch die Variable k wieder hinzu, ergibt sich folgendes Ergebnis:

Da der Exponent m Element der ganzem Zahlen ist, kann m auch negativ werden. Es findet also kein Wachstum sondern eine Verkleinerung statt. Der zugehörige Grenzwert ergibt sich dann zu: