DIE GESTALT DER ERDE

10 - Die Schmiegekreise

10.0 Die Schmiegekreis-Konstruktion  
10.1 Schnittpunkt der Diagonalen AB mit der Schmiegekreisgeraden  
10.2 Der Schnittpunkt mit der Ellipse  
10.3 Geozentrische und georaphische Breite des Schnittpunktes  
10.4 Ein ausgezeichneter Breitengrad  
10.5 Ein weiterer ausgezeichneter Breitengrad  
     
     
     
     
     
     
     
     
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10.0 Die Schmiegekreis-Konstruktion zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Die Schmiegekreise spielen bei der Ellipse eine besondere Rolle. Einerseits kann mit ihnen die Ellipse relativ schnell konstruiert werden. Andererseits werden die Radien der Schmiegekreise, speziell der kleinere Radius, benutzt, um die Ellipse in ihren Eigenschaften zu beschreiben, z.B. für die Ellipse als Kegelschnitt.
 
Hier die Konstruktion der Schmiegekreise:
 
 
Abbildung 10.1 - Konstruktion der Schmiegekreise
 
  • Man konstruiert zuerst das Rechteck MACB - aus der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b.
  • Eine Diagonale dieses Rechtecks wird eingezeichnet, und zwar die von Punkt A nach Punkt B (blau) .
  • Auf dieser Diagonalen wird die Senkrechte (blau) errichtet, und zwar so, das diese durch den Punkt C geht. Diese Linie wird hier als Schmiegekreisgerade bezeichnet.
  • Dann sind die Schnittpunkte (M1 und M2) der Schmiegekreisgeraden mit den Ellipsenachsen, die gesuchten Mittelpunkte der Schmiegekreise.

 

 

10.1 Schnittpunkt Diagonale AB mit der Schmiegekreisgeraden zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Bei dieser Konstruktion fällt auf der Schmiegekreisgeraden noch ein weiterer Schnittpunkt an. Nämlich der Schnittpunkt der Gerade mit der Diagonalen. Dieser Punkt wird hier mit SG bezeichnet.
Schmiegekreisgerade und Diagonale stehen ausserdem senkrecht aufeinander. Das ist in der folgenden Abbildung noch einmal vergrössert zu sehen
 
 
Abbildung 10.2 - Schnittpunkt zwischen Schmiegekreisgerade und Diagonale
 
 
Die Koordinaten des Schnittpunktes SG lassen sich rein analytisch, also mathematisch, ermitteln. Die Ableitung für den Schnittpunkt geschieht folgendermassen:
 
Die Funktionsgleichung für die Schmiegekreisgerade:
   
Die Funktionsgleichung für die Diagonale:
 
Für den Schnittpunkt SG gilt dann : yS = yD
 
Durch Einsetzen der Geradengleichungen und Auflösen nach x erhält man die x-Komponente für den Schnittpunkt.
 
Durch Einsetzen des gefundenen x in eine der Geradengleichungen erhält man dann die y-Komponente.
 

 

 

10.2 Der Schnittpunkt mit der Ellipse zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Auffallend ist, das die y-Koordinate, also die Parallele zur x-Achse, die Ellipse im Punkt G schneidet. Siehe Abbildung 10.2 Auch hier lassen sich die gesamten Koordinaten des Schnittpunktes G rein analytisch ermitteln.
 
Für die Funktionsgleichung einer Ellipse gilt :
 
 
Für die y-Koordinate gilt: y = yG = yS
 
Einsetzen von yG in die Gleichung und Auflösung nach x liefert dann xG:
 

 

 

10.3 Geozentrische und geographische Breite des Schnittpunktes zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Aus der x und y Komponente lassen sich die geozentrischen Daten des Punktes G bestimmen.
Die geozentrische Breite y ist definiert durch:
Einsetzen von yG und xG in die Gleichung liefert die geozentrische Breite yG des Punktes G
 
 
Durch Umrechnung lassen sich dann schließlich die geographischen Daten des Punktes G ermitteln.
Der Zusammenhang zwischen geozentrischer Breite y und geographischer Breite j ist definiert durch folgende Gleichung ( siehe auch 9.1):
Einsetzen von tangens yG in die Gleichung liefert die geographische Breite jG des Punktes G
 

 

 

10.4 Ein ausgezeichneter Breitengrad zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Der Formfaktor fo schließlich, kann ja auch noch durch n, den Numerus der Abplattung dargestellt werden:
 
Einsetzen von fo bzw. von n in die Gleichungen liefert dann die folgende Tabelle :
 
Numerus der Abplattung geozentrische Breite geographische Breite
n y j
296 29 48‘ 15,92" 29 58‘ 19,06"
297 29 48‘ 18,29" 29 58‘ 19,40"
298 29 48‘ 20,64" 29 58‘ 19,73"
299 29 48‘ 22,98" 29 58‘ 20,07"
300 29 48‘ 25,30" 29 58‘ 20,40"
 
 

Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen ersichtlich:

für 296 n 300 29 58 19,06² j 29 58 20,40²

Also gilt für die Winkeldifferenz: D j = 1,34²

Der Winkeldifferenz
D j = 1,34² entsprechen etwa 41 Meter in Länge.

 
 
Bezüglich der Ellipse nimmt der Punkt G eine ausgezeichnete Position ein. Er ist ein direkter Punkt auf der Ellipse, der in einem eindeutigen Bezug zur Schmiegekreiskonstruktion steht.

Bezüglich eines Rotationsellipsoiden würde aus dem Punkt G ein kompletter Breitenkreis entstehen.
Dieser Breitenkreis liegt, vom Äquator aus gesehen, auf Höhe des Schnittpunktes
SG
Man kann ein beliebiges geodätisches System benutzen, da alle Werte in einen Bereich von 41 Meter Breite fallen.

Ausgehend von einem Rotationsmodell für die Erde, hätten wir hier sogar zwei ausgezeichnete Breitengrade vor uns mit:

 
j 1 = +29 58 19-20,5² N
j 2 = -29 58 19-20,5² S

 

 

10.5 Ein weiterer ausgezeichneter Breitengrad zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Genau genommen existieren zwei Schnittpnkte. Der zweite Punkt G2 entsteht dadurch, das die x-Koordinate, also die Parallele zur y-Achse, die Ellipse schneidet.
 
   
 
  Abbildung 10.3 - Zweiter Schnittpunkt  
 
 
Für die x-Koordinate gilt: x = xG2= xS
 
Einsetzen von xS in die Ellipsen-Gleichung und Auflösung nach y liefert dann yG2:
 
 
 
Einsetzen von yG2 und xG2 in die Gleichung liefert die geozentrische Breite yG2 des Punktes G2
 
 
 
Umrechnung liefert die geographische Breite jG2 des Punktes G2
 
 
 
Ausgehend von einem Rotationsmodell für die Erde, hätten wir hier wiederum zwei ausgezeichnete Breitengrade vor uns:
 
j 3 = +59 58 19-20,5² N
j 4 = -59 58 19-20,5² S
 
 
Bezüglich der Ellipse nehmen die Punkte G und G2 ausgezeichnete Positionen ein. Sie sind die einzigen direkten Punkte auf der Ellipse, die in einem eindeutigen Bezug zur Schmiegekreis- Konstruktion stehen. (ausser dem Schnittpunkt der Schmiegekreisgeraden mit der Ellipse selber)

Ausgehend von einem Rotationsmodell für die Erde, hätten wir insgesamt also vier komplette ausgezeichnete Breitengrade vor uns.

Bildet man die Mittelwerte zwischen der grossen und der kleinen Achse einer Ellipse, so stehen diese Mittelwerte in Beziehung zur Schmiegekreis-Konstruktion bzw. den Punkten G und G2. Dieser Zusammenhang wird das Thema der nächsten Kapitel sein.

 

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